筛法与质数表

给出一个自然数表(1,2,…,n),要求尽可能快的找出其中的质数,应该怎么做?
有两种思路:一种是遍历,一个个找质数,一种是去掉所有的合数.那么选择哪一种呢?

不管怎样,先来看看如何判定质数或者合数.

质数和合数的判定

质数和合数的定义在这不多讲.为判断是质数还是合数,最经典的方案就是遍历小于该数的所有整数(除了1),如果出现整除,那就不是.
就像这样:

while(i=2;i<N;i++)
{
	if(N%i==0)
	{
		return FALSE;
	}
}
return TRUE;

但这样需要扫描N-1次,对于大数而言要花相当多的时间,显然不是优解.那么在这里引入一个定理:
$$\begin{gathered} theorem: \\ \forall x\in z且x是合数 \\ \exists 1\le a\le \sqrt{x} \\ 使得a|x \end{gathered}$$
对该定理用反证法证明:
$$\begin{gathered} proof: \\ for合数x, \\ \exists 整数对(a,b),a\dot{b}=x.(a!=0andb!=0) \\ ifa<\sqrt{x}andb<\sqrt{x} \\ \to a\dot{b}<x \\ \therefore 原假设不成立. \\ Q.E.D \end{gathered}$$
所以现在提出第一个改进:
只用扫描到$\sqrt{x}$即可判断是否为质数.

筛法

结合上一部分,下面提出一个在自然数表中找出质数表的一个改进方法:

1. 在$\sqrt{x}$范围内找出质数;
2. 清除这些质数的整数倍;
3. 完成.

$$清除所有质数的整数倍⟺清除所有合数$$
二者是等价的吗?
下面是解释:
自然的,是一个整数的整数倍的数一定是合数.所以若清除了所有的合数必然清除所有质数的整数倍.由此必要性得证.
下面是充分性:
先引入一个定理:
$$\begin{gathered} theorem: \\ \forall x\in \mathbb{N}+ \\ x=\prod _{i=1}^n{a}_i, \\ {a}_i\in \mathbb{N}+且a_i是质数 \end{gathered}$$
下面是证明:
$$\begin{gathered} proof:对于质数a,可分解为1\dot{a},成立. \\ 对于合数b,一定可以分解为 \\ \prod _{i=1}^n{m}_i,m_i\in \mathbb{N}+ \\ 对于m_i,若为质数,则分解停止. \\ 若为合数,则按照上一条,可以分解为\prod _{i=1}^n{m}_i^{\prime },m_i^{\prime }\in \mathbb{N}+ \\ 以上过程均成立直到m_i^k均为质数. \end{gathered}$$
于是
$$\begin{gathered} \forall ais合数 \\ \exists mis质数 \\ m|a \end{gathered}$$
充分性得证.

那么:
按照这个方法进行质数的筛选,有:

for(a=1;a<=sqrt(x);a++)
{
	if(isPrime_number(a)==1)
	{
		for(b=2;ab<=x;b++)
		{
			remove(ab);
		}
	}
	else
	{
		/*怎么会有else?*/
	}
}		

就是这样了.