二元一次不定方程的整数解

本文探讨了二元一次不定方程ax+by=c的解的存在性及求解方法,通过裴蜀定理证明了当最大公约数gcd(a,b)能整除c时,方程有无限多个整数解,并给出了特解基础上求其他整数解的通用公式。

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先来看看一个典型的二元一次不定方程:
ax+by−c=0a,b,c∈zx,y∈z ax+by-c=0\\ a,b,c\in\mathbb{z}\\x,y\in\mathbb{z} ax+byc=0a,b,czx,yz
为了方便不妨限定c⩾0c\geqslant0c0.
下面给出一个是否有解的定理:
theorem:gcd(a,b)∣c  ⟺  不定方程ax+by=c有无数个整数解.{theorem:}\\ gcd(a,b)|c\iff不定方程ax+by=c有无数个整数解. theorem:gcd(a,b)cax+by=c.
下面用之前提到的裴蜀等式(或者裴蜀定理,叫什么都好)证明
proof:∵∃s,t∈z,sa+tb=gcd(a,b),∴when gcd(a,b)∣c,The solution is [s∗(c/gcd(a,b)),t∗(c/gcd(a,b))] Q.E.D{proof:}\\ \because \exists s,t\in\mathbb{z},\\ sa+tb=gcd(a,b),\\ \therefore when\ gcd(a,b)|c,\\ The\ solution\ is\ [s*(c/gcd(a,b)),t*(c/gcd(a,b))]\\ \ Q.E.D proof:s,tz,sa+tb=gcd(a,b),when gcd(a,b)c,The solution is [s(c/gcd(a,b)),t(c/gcd(a,b))] Q.E.D
既然有解,那解是什么就成了下一个问题.
下面是结论:
对于特解 x0,y0其他的解为{x=x0±t∗bgcd(a,b)y=y0∓t∗agcd(a,b) 对于特解\ x_0,y_0\\ 其他的解为\\ \left\{ \begin{aligned} x=x_0\pm \frac{t*b}{gcd(a,b)}\qquad \\ y=y_0\mp \frac{t*a}{gcd(a,b)}\qquad \\ \end{aligned} \right.  x0,y0x=x0±gcd(a,b)tby=y0gcd(a,b)ta
下面是不太数学化的证明XD
已经通过各种黑科技得到特解x0x_0x0,y0y_0y0,那么就形成了一种"平衡状态",要得到其他的整数解必须要基于这个状态进行"无害化"修改.那么就只能像这样:
ax0+by0=c→ ax0±m+by0∓m=c→a(x0±m/a)+b(y0∓m/b)=c ax_0+by_0=c\rightarrow\ ax_0\pm m+by_0\mp m=c\\ \rightarrow a(x_0\pm m/a)+b(y_0\mp m/b)=c ax0+by0=c ax0±m+by0m=ca(x0±m/a)+b(y0m/b)=c
当且仅当a∣m∧b∣ma|m \land b|mambm,有新的整数解.此时m为a,b的公倍数.
根据定理,[a,b]∣m[a,b]|m[a,b]m,m=[a,b]∗tm=[a,b]*tm=[a,b]t
又因为[a,b]=a∗bgcd(a,b)[a,b]=\frac{a*b}{gcd(a,b)}\qquad[a,b]=gcd(a,b)ab
带入得证.

这只是不定方程中最简单的一种情况,至于更复杂的多元高次不定方程,那就是另一回事了.

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