HDU 4704 Sum

最新推荐文章于 2020-07-22 13:24:49 发布

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#费马小定理 #快速幂 #组合数求和公式 #隔板定理

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本文解析了 HDU4704 Sum 的解题思路，通过组合数学的方法，利用隔板定理求解将 N 分成 K 个整数和的分法数，并最终求得 (2^(N-1))mod(10^9+7) 的值。文章还提供了一种使用快速幂结合费马小定理进行大数运算的高效算法。

HDU 4704 Sum ：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704

题目描述:

Sum

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2067 Accepted Submission(s): 861

Problem Description

Sample Input

Sample Output

  
   2

   
    
     Hint
    
1.  For N = 2, S(1) = S(2) = 1.

2.  The input file consists of multiple test cases.

Source

2013 Multi-University Training Contest 10

题目大意：

S(k)表示把N分成k个整数和的分法数，此题要求解的是(S(1)+S(2)+...+S(N))mod(10^9+7)的值。

题目分析：

根据隔板定理，把N分成一份的分法数为C(1,n-1)，

把N分成两份的分法数为C(2,n-1)，

把N分成三份的分法数为C(3,n-1)，.... ，

把N分成N份的分法数为C(n-1,n-1)。

设sum=S(1)+S(2)+...+S(N)，根据组合数求和公式，sum=2^(n-1)。所以，原式可化为(2^(N-1))mod(10^9+7)

由于N的值比较大，第一步想到的就是要用字符数组来对其进行处理，且由于N比较大，且2和MOD互素，所以要借助于费马小定理求解，2^(MOD-1)modMOD==1，即要看(N-1)中有有多少个(MOD-1)，则(N-1)%(MOD-1)的值再对MOD进行快速幂求解即可。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

long long quick_mod(long long a,long long b,long m)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%m;
            b--;
        }
        b/=2;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}

const long long MOD=1000000000+7;
int main()
{
    char str[100010];
    long long sum;
    long long M=MOD-1;
    while(scanf("%s",str)!=EOF)
    {
        int len=strlen(str);
        sum=0;
        for(int i=0;i<len;i++)
        {
            sum=sum*10+(str[i]-'0');
            sum=sum%M;
        }
        //cout<<"sum="<<sum<<endl;
        printf("%lld\n",quick_mod(2,(sum-1),MOD));
    }
    return 0;
}