K-Means Clustering 笔记

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K-Means Clustering(k均值聚类算法) 属于无监督学习算法, 它可以发现 k 个不同的簇, 每个簇的质心采用簇中所含值的均值计算而成.

优点	容易实现
缺点	可能收敛到局部最小值, 在大规模数据集上收敛较慢
适用数据类型	数值型

基础概念
1. 无监督学习
目标变量不存在, 即不区分训练集与测试集, 没有训练阶段.

2. SSE
Sum of Squared Error(SSE, 误差平方和), 用于度量聚类效果的指标, 它是样本点到其所属簇的质心的距离的平方和, SSE 值越小表示数据点越接近它们的质心, 聚类效果也越好.

算法描述
1. K-Means
(1). 随机选取K个质心
(2). 遍历每个样本点, 与距离其最近的质心作为一簇, 最后共生成 K 个簇 (代码 47-60 行)
(3). 重新计算K个质心, 即将每个簇中所有样本点求均值, 得到新的质心 (代码 66-68 行)
(4). 重复(2)->(3), 若 (2) 进行完后, 每个样本点所属的簇都没有发生改变, 则聚类完成
(5). 当聚类完成后, 应该能得到K个质心的坐标, 各个样本点所属的簇及其与质心的误差(距离)

2. 二分 K-Means
二分 K-Means 算法是为了解决 K-Means 会碰到的收敛到局部最小值的情况而提出的.
(1). 初始化时, 将所有样本点作为一个簇 (代码 82-83 行)
(2). 每一步划分都增加一个簇, 直至簇的总数为 K 为止
(3). 每次划分时, 都尝试对当前每个簇进行 K=2 的 K-Means 划分, 划分完后, 将此簇划分出来的 2 个簇的 SSE 与其他簇的 SSE 相加; 取总 SSE 最小的划分为当前划分 (代码 95 - 108 行)

算法流程图
1. K-Means

2. 二分 K-Means

代码

# -*- coding: utf-8 -* 
from numpy import *

# 加载数据, 最后一列为其实际所属类别
# 数据由 tab 分隔
def loadDataSet(fileName):      
    dataMat = []                
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = map(float,curLine) # map all elements to float()
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat


# 计算两个向量的欧氏距离
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) #la.norm(vecA-vecB)


# 基于数据集构建 K 个随机质心, 这些质心必须在数据集的范围内
def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1]
    centroids = mat(zeros((k,n)))   # 存放随机质心, k 行 n 列
    for j in range(n):  
        minJ = min(dataSet[:,j])    # 第 j 列的最小值
        rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)    # 第 j 列的范围
        centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
    return centroids
 

# kMeans 算法
# 1. 参数 k 表示需要划分的簇的大小
# 2. 返回值为分好类后的质心 及 各个样本点所属簇和样本点到质心的距离
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
    m = shape(dataSet)[0]            # 数据集行数, 即样本数

    # 存放簇分配结果, 第 1 列为簇索引, 第二列为存储误差(当前点到质心的距离)
    # 误差可以用来评价聚类的效果
    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))

    # 初始取 k 个随机质心
    centroids = createCent(dataSet, k)
    clusterChanged = True

    # 如果遍历所有样本点后, 它们所属簇都未发生变化, 则说明分类完成
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        # 对每个样本, 将其 assign 到与它距离最近的质心
        for i in range(m):
            minDist = inf; 
            minIndex = -1
            for j in range(k):
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
                if distJI < minDist:
                    minDist = distJI; 
                    minIndex = j

            # 样本点所属簇发生了变化
            if clusterAssment[i,0] != minIndex: 
                clusterChanged = True
            clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2

        # 重新计算质心
        # 以每个簇中所有样本点的均值为新质心
        for cent in range(k):
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) # 求均值

    return centroids, clusterAssment


# 二分 kMeans 算法
# 1. 参数 k 表示需要划分的簇的大小, distMeas 为计算两点间距离(误差)的函数
def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
    m = shape(dataSet)[0]
    
    # 存储每个点分配到的簇及误差
    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))

    # 初始取所有点的均值作为质心
    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]
    centList =[centroid0]   # 初始只有一个质心

    # 遍历所有的样本点, 计算这些样本点到质心的距离(误差)
    for j in range(m):      
        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2

    # 每个循环都会增加一个簇, 直至 k 个簇   
    while (len(centList) < k):
        lowestSSE = inf

        # 遍历所有已分的簇, 对每个簇中的数据采用 k 为 2 的 kMeans 分成两簇
        # 取划分后误差(SSE)最小的划分作为下一步的划分
        for i in range(len(centList)):
            # 取当前簇中的所有点
            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
            # 按 k=2 进行 kMeans 划分
            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)
            # 计算误差
            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])
            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])
            # 取最小误差
            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
                bestCentToSplit = i
                bestNewCents = centroidMat
                bestClustAss = splitClustAss.copy()
                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

        # 保存最佳划分的质心
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) 
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit
        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]
        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

        # 保存簇索引及误差
        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss
    return mat(centList), clusterAssment


if __name__ == "__main__":
    # 测试 kMeans
    # datMat = mat(loadDataSet('testSet.txt'))
    # myCentroids, clustAssing = kMeans(datMat,4)
    # print myCentroids

    # 测试 二分 kMeans
    datMat3 = mat(loadDataSet('testSet2.txt'))
    centList,myNewAssments = biKmeans(datMat3,3)
    print centList

说明
本文为《Machine Leaning in Action》第十章(Grouping unlabeled items using k-means clustering)读书笔记, 代码稍作修改及注释. 

好文参考
1.《K-Means 算法》
2.《漫谈 Clustering (1): k-means》
3.《K-means聚类算法》