HDU - 1018 Big Number

原题地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1018

转自：https://blog.youkuaiyun.com/ld_1090815922/article/details/64248275

在hdu评论区看到的理解 加入到文章中来：

这题要求n的阶乘的位数，如果n较大时，n的阶乘必将是一个很大的数，题中说1<=n<10000000，n=10000000时可以说n的阶乘将是一个非常巨大的数字，对于处理大数的问题，我们一般用字符串，这题当n取最大值时，就是一千万个数字相乘的积，太大了，就算保存在字符串中都有一点困难，而且一千万个数字相乘是会涉及到大数的乘法，大数的乘法是比较耗时的，就算计算出结果一般也会超时。这让我们不得不抛弃这种直接的方法。
再想一下，这题是要求n的阶乘的位数，而n的阶乘是n个数的乘积，那么要是我们能把这个问题分解就好了。
在这之前，我们必须要知道一个知识，任意一个正整数a的位数等于(int)log10(a) + 1；为什么呢？下面给大家推导一下：
对于任意一个给定的正整数a，假设10^(x-1)<=a<10^x，那么显然a的位数为x位，又因为
log10(10^(x-1))<=log10(a)<(log10(10^x))
即x-1<=log10(a)<x
则(int)log10(a)=x-1,
即(int)log10(a)+1=x
即a的位数是(int)log10(a)+1 我们知道了一个正整数a的位数等于(int)log10(a) + 1，现在来求n的阶乘的位数：
假设A=n!=1*2*3*......*n，
那么我们要求的就是(int)log10(A)+1，而：
log10(A)
=log10(1*2*3*......n) （根据log10(a*b) = log10(a) + log10(b)有）
=log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)
现在我们终于找到方法，问题解决了，我们将求n的阶乘的位数分解成了求n个数对10取对数的和，并且对于其中任意一个数，都在正常的数字范围之类。 总结一下：n的阶乘的位数等于

(int)(log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)) + 1

Big Number

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Problem Description

In many applications very large integers numbers are required. Some of these applications are using keys for secure transmission of data, encryption, etc. In this problem you are given a number, you have to determine the number of digits in the factorial of the number.

 

Input

Input consists of several lines of integer numbers. The first line contains an integer n, which is the number of cases to be tested, followed by n lines, one integer 1 ≤ n ≤ 10 ⁷ on each line.

 

Output

The output contains the number of digits in the factorial of the integers appearing in the input.

 

Sample Input

21020

 

Sample Output

719

 

Source

Asia 2002, Dhaka (Bengal)

 

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JGShining

 

题意：先给出一个整数n,表示有n组测试数据，接着是有n个数据，每一个数据都是介于1到10⁷之间。要求的是每个数阶层的位数，也就是每个数字阶层的长度是多少？

解题思路：

1.直接暴力求解，但似乎数据真的实在是太大了，但只要稍微改进一下代码还是可以AC的，只是比较费时，本人用了889MS险过；由于数据比较大，所以得用double类型，有时候这也是一个小技巧。

代码1：

[cpp]  view plain  copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. int main()  
4. {  
5.     int t,i,k,n;  
6.     double w;  
7.     scanf("%d",&t);  
8.     while(t--)  
9.     {  
10.         scanf("%d",&n);  
11.         s=1;  
12.         w=1;  
13.         for(i=2; i<=n; i++)  
14.         {  
15.             s=s*i;  
16.             if(s>=10)<span style="white-space:pre;">         </span>//每计算一次大于10了，就先计算已有位数，并且在同一个for循环里进行，可节约一点时间。  
17.                 while(s>=10)  
18.                 {  
19.                     s/=10;  
20.                     w++;<span style="white-space:pre;">     </span>//记录已有位数。  
21.                 }  
22.         }  
23.         printf("%d\n",w);  
24.     }  
25.     return 0;  
26. }  

2.利用本题特性用数位解答，首先我们的知道一个知识点，那就是 任意一个正整数 a的位数等于(int)log10(a) + 1; 对于任意一个给定的正整数a，至于推导大家可以借鉴：（详情点击链接http://www.wendangku.net/doc/b2ca872014791711cd79170b.html）

假设10^(x-1)<=a<10^x，那么显然a的位数为x位，又因为
log10(10^(x-1))<=log10(a)<(log10(10^x))
即x-1<=log10(a)<x
则(int)log10(a)=x-1,
即(int)log10(a)+1=x
即a的位数是(int)log10(a)+1；

代码2.

[cpp]  view plain  copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. #include <math.h>  
4. int main()  
5. {  
6.     int t,i,n;  
7.     double w;  
8.     scanf("%d",&t);  
9.     while(t--)  
10.     {  
11.             scanf("%d",&n);  
12.             w=1;  
13.             for(i=1;i<=n; i++)  
14.             w=w+log10((double)i);  
15.         printf("%d\n",(int) w);  
16.     }  
17.     return 0;  
18. }  

3.最近还发现了一作做法，那就是利用斯特林公式来做，公式是：log10(n!)=1.0/2*log10(2*PI*n)+n*log10(n/e)；至于为什么来来的，有兴趣的朋友可以自己去查有关资料，不然记忆就好，和前面的第二种方法一样，有了公式就很简单了。

代码3：

[cpp]  view plain  copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. #include <math.h>  
4. #define e 2.71828182  
5. #define PI 3.141592654  
6. int main()  
7. {  
8.     int t;  
9.     int n;  
10.     double w;             //斯特林数  
11.     scanf("%d",&t);  
12.     while(t--)  
13.     {  
14.         scanf("%d",&n);  
15.         w=(1.0/2*log10(2*PI*n)+n*log10(n/e));  
16.         printf("%d\n",(int) w+1);              //记得+1，不能少。  
17.     }  
18.     return 0;  
19. }  

以上三种方法我推荐的是第二种和第三种，两个公式大家可以不必细究到底怎么来的，但一定要记住它，关键时刻很有用，希望能帮到一些朋友。