正弦积分与余弦积分函数

  在看天线理论时遇到了正弦积分与余弦积分函数，为了更好的理解这个函数的性质，使用Python将这两个函数的图像复现出来，同时画了被积函数的图像。

图1 书上的公式示例

• 正弦积分函数：$Six={\int }_0^x\frac{\sin x}{x}dx$；被积分函数是$\sin x/x$，积分区间是$\left(0,x\right)$。
• 余弦积分函数：$Cix=-{\int }_x^{\infty }\frac{\cos x}{x}dx={\int }_x^{\infty }-\frac{\cos x}{x}dx$；被积分函数$-\cos x/x$，积分区间是$\left(x,\infty \right)$，这里将Ci x的负号写到了被积分函数里面。

一、被积分函数分析

  使用matplotlib里面的plot函数作图，代码里需要注意的地方是起始点是0.2不是0，否则会因为$-\cos x/x$的值是-∞而作图比例不协调。通过函数图像可以得到两个被积分函数的性质。

• $\sin x/x$：当x=0时其值为1是最大，之后波动趋向于0；
• $-\cos x/x$：当x=0时其值为-∞是最小，之后波动趋向于0；

  两者共同趋向于0的原因是分子的范围是[-1,1]，而分母最终会趋向于正无穷大，所以结果最终会趋向于0。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.arange(0.2, 10, 0.01)    # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分无穷大，所以从0.2开始
# 先看下sin(t)/t与-cos(t)/t的图像   这里x的范围是x>0.2，是因为x<0.2时余弦积分无穷大会超出边界，所以从0.2开始
sin_t = np.sin(x)/x
cos_t = np.cos(x)*(-1)/x

plt.title('被积分函数')                           # 添加标题
plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")
plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")
plt.legend(loc='upper left')                    # 显示在左上,解决label不显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']    # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.show()

图2 被积分函数图像

二、积分函数分析

  可以看到Cinx和$\sin x/x$有重合的部分，这个对应$Cix\approx \frac{\sin x}{x},x\ge 1$，尤其是在x≥2之后几乎是重合的，不过因为求Ci x这里使用了近似解。

• 最终余弦积分的结果趋向于0，这是因为他的积分区间导致的，x→∞时，积分区间长度为0。
• 正弦积分区间趋向于1.5708
• 书上Si x和Ci x函数值如表1所示
• 余弦积分的积分到∞代码实现不了，使用积分到300进行工程近似，即第23行代码的v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300)

表1 Si x和Ci x函数值

x	Si x	Ci x
0	0	$-\infty$
$\pi /\text{2}$	1.371	0.472
$\pi$	1.852	0.074
$3\pi /\text{2}$	1.608	-0.198
$2\pi$	1.418	-0.0227
$3\pi$	1.675	0.011
$4\pi$	1.492	-0.006
$\infty$	1.5708	0

from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.arange(0.2, 10, 0.01)    # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分设计无穷大，所以从0.2开始
v = x * 0.0   # 初始化v和x的长度一致，并且都是0.0,小数,0的话就是整数了
v_cos = x * 0.0
# 先看下sin(t)/t与cos(t)/t的图像
sin_t = np.sin(x)/x     # sin(x)/x的积分是从0→x，直接从前积分就行，没有进行近似
cos_t = np.cos(x)*(-1)/x     # cos(x)/x的积分是从x→∞，后面的积分可以忽略，所以只计算到的积分是30即可，主要看趋势


def f(t):   #
    return np.sin(t)/t  # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为t


def g(t):
    return np.cos(t)*(-1)/t  # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为t


for a in range(0, len(x), 1):  # 第一个积分出来是nan,先跳过第0个元素
    v[a], err = integrate.quad(f, 0, x[a])   # 0,np.pi是积分范围，在最后的画图里面np.pi应该是变量
    v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300)
    # v_cos[a], err = integrate.quad(g, 30, x[a])

plt.title('正弦/余弦积分')                       # 添加标题
plt.plot(x, v, label="Si x")
plt.plot(x, v_cos, label="Ci x")
plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")
plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")
plt.legend(loc='upper left')                    # 显示在左上,解决label不显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']    # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.show()

图3 正弦/余弦积分函数图像

参考

1. 《天线理论与技术》钟顺时，P46
2. 百度百科-正弦积分
3. 百度百科-余弦积分