洛谷P1044 [NOIP2003 普及组] 栈题解（卡特兰数）

最新推荐文章于 2024-07-14 17:59:05 发布

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#c++

本文探讨了如何通过栈操作生成不同的输出序列，并利用卡特兰数计算这些序列的总数。文章介绍了栈的基本概念，详细解释了如何用卡特兰数解决特定问题，并提供了具体的实现代码。

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。

现在可以进行两种操作，

将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）
使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 n（1≤n≤18）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

由题意得，对于序列1~n，每次都可以选择push或者pop操作，且在操作合法的情况下，只要push和pop的操作顺序不同，最后输出的序列就不同。

合法的要求为：对任意i<2n,前i步操作中pop的操作数不大于push的操作数

卡特兰数

在如上的坐标轴中，记向右走一步为进行一次push操作，向上走一步为进行一次pop操作

那么应始终保证x>=y，即路线始终在y=x及其之下，路线不过y=x+1

但是直接计算满足上述要求的路线数难度较大

以从(0,0)走到(6,6)为例

如果路线过y=x+1，则该路线不满足条件，且该路线关于y=x+1对称后会走到(5,7)，由于(5,7)在y=x+1的上方，而(0,0)在y=x+1的下方。因此所有从(0,0)走到(5,7)的路线经y=x+1对称都可以得到一条经过y=x+1到(6,6)的路线，也就是不满足要求的路线，即不满足要求的方案数=从(0,0)走到(5,7)的方案数，对于上述例子，满足要求的方案数为 $C_{12}^{6}-C_{12}^{5}$

推广得从(0,0)到(n,n) 方案数为 $C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$ $=\frac{\mathrm{(2n)!} }{\mathrm{n!n!} }-\frac{\mathrm{(2n)!} }{\mathrm{(n-1)!(n+1)!} } =\frac{\mathrm{(n+1)(2n)!} }{\mathrm{(n+1)n!n!} }-\frac{\mathrm{n(2n)!} }{\mathrm{(n+1)n!n!} } =\frac{\mathrm{(2n)!} }{\mathrm{(n+1)n!n!} } =\frac{\mathrm{C_{2n}^{n}} }{\mathrm{n+1} }$

由于题中n的范围为·1~18，直接计算相乘后中间的结果会爆long long，所以采用递推的方式来枚举

$C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}$

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL C[40][20];

int main()
{
    for(int i=0;i<=36;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(!j) C[i][j]=1;
            else C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
        }
    int n;
    cin>>n;
    cout<<C[2*n][n]/(n+1);
}