【算法】组合数学1 - 球盒模型与第二类斯特林数

球盒模型

一共 $8$ 类基本模型，以难度从易到难排序。

• $n$ 个有编号的球放入 $k$ 个有编号的盒子，盒子中可以为空的方案数。

  • 每个球有 $k$ 种选择，$k^n$。

• $n$ 个无编号的球放入 $k$ 个有编号的盒子，盒子中不可以为空的方案数。

  • 隔板法，可以看做在 $n$ 个球的 $n-1$ 个缝隙中插入 $k-1$ 个隔板，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$。

• $n$ 个无编号的球放入 $k$ 个有编号的盒子，盒子中可以为空的方案数。

  • 问题可以转化为 $n+k$ 个无编号的球放入 $k$ 个盒子，盒子中不可以为空的方案（多出来的 $k$ 个球删掉后就变成了可以为空），$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}\right)$。

• $n$ 个有编号的球放入 $k$ 个无编号的盒子，盒子中不可以为空的方案数。

  • 斯特林数（详细讲解请参照后面），$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$。

• $n$ 个有编号的球放入 $k$ 个无编号的盒子，盒子中可以为空的方案数。

  • 枚举空的盒子个数，$\sum _{i=0}^{k-1}\left\{\begin{array}{c}n\\ k-i\end{array}\right\}$。

• $n$ 个有编号的球放入 $k$ 个有编号的盒子，盒子中不可以为空的方案数。

  • 在盒子没有编号的基础上乘上盒子编号的方案，$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}\cdot k!$。

• $n$ 个无编号的球放入 $k$ 个无编号的盒子，盒子中不可以为空的方案数 $f(n,k)$。

• $n$ 个无编号的球放入 $k$ 个无编号的盒子，盒子中可以为空的方案数 $g(n,k)$。

  • 最后两种情况需要合并考虑，分别考虑两者之间的转换。

  • 对于不可为空的情况，可以先放 $k$ 个球保证每个盒子都不为空，则显然有 $f(n,k)=g(n-k,k)$。

  • 对于可以为空的情况，分成每个盒子都不为空和至少有一个盒子为空两种情况，则 $g(n,k)=f(n,k)+g(n,k-1)=g(n-k,k)+g(n,k-1)$。

第二类斯特林数

{kn}\{^n_k\}{kn​} 表示将 $n$ 个元素划分成 $k$ 个非空集合的方案数。

考虑如何计算。

方法一（递推）：

$$\left\{\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right\}+k\cdot \left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$$

• 即第 $n+1$ 个元素单独放在第 $k$ 个集合和将 $n+1$ 放在第 $1$ 到 $k$ 个集合的方案数之和。

方法二（容斥）：

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=\frac{1}{k!}\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(k-i{)}^n$$

• 上面的式子将 $k!$ 乘过去就可以看作对第六类球盒模型求答案。

• 而由于要求盒子不可以为空，所以我们可以计算出空 $0,1,2,\cdots ,k$ 个盒子的方案数，即 $k^n,(k-1{)}^n,(k-2{)}^n,\cdots ,1$，并通过容斥计算出答案。