思维拓展：球盒模型

球盒模型三要素：

1. 小球是否相同
2. 盒子是否相同
3. 是否允许空盒

根据上述三要素，球盒模型一共有8种类型：

1. n个相同小球，m个不同盒子，不允许空盒子 —— n同球，m异盒，无空
2. n个相同小球，m个不同盒子，允许有空盒子 —— n同球，m异盒，可空
3. n个相同小球，m个相同盒子，不允许空盒子 —— n同球，m同盒，无空
4. n个相同小球，m个相同盒子，允许有空盒子 —— n同球，m同盒，可空
5. n个不同小球，m个相同盒子，不允许空盒子 —— n异球，m同盒，无空
6. n个不同小球，m个相同盒子，允许有空盒子 —— n异球，m同盒，可空
7. n个不同小球，m个不同盒子，不允许空盒子 —— n异球，m异盒，无空
8. n个不同小球，m个不同盒子，允许有空盒子 —— n异球，m异盒，可空

其中$n\ge m$，即球比盒子多。

球盒模型解决方法

同球异盒

• 5同球，3异盒，无空

隔板法：

公式：$C_{5-1}^{3-1}=C_4^2=6$

解释：5个小球有4个空，插2块板子将小球分成3堆，有6种可能。

• 5同球，3异盒，可空

虚拟球 + 隔板法：有几个盒子，就加几个虚拟球

公式：$C_{8-1}^{3-1}=C_7^2=21$

同球同盒

• 5同球，3同盒，无空

使用隔板法，由于盒子相同，会产生重复方案。正确做法是使用正整数拆分的方法：
5 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2，共2种拆分方法，由于盒子相同，所以不用考虑拆分顺序。

• 5同球，3同盒，可空

由于盒子可空，应使用自然数数拆分的方法：
5 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 0 + 0 + 5 = 0 + 1 + 4 = 0 + 2 + 3，共5种拆分方法。

异球同盒

• 5异球，3同盒，无空

因为不允许空盒子，那么5个球放到3个盒子的拆分方案只有2种：
5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 2 + 2
因为5个球是不同的，可以分上面两种情况讨论：

1. $C_5^3\times C_2^1$