博弈论学习

硬币游戏1：给x个石子，然后给k个数字，首先取完所有石子的获胜。

可得x=0时，为必败态；如果j-ai为必败态的话，j即为必胜态；如果对于任意的j-ai都是必败必胜态的话，那么j就是必胜态。可用动态规划从小到大求出胜负态，这样就能知道谁会获胜。

像这样，通过考虑各个壮态的胜负条件，判断必胜态和必败态，是有胜败的游戏的基础。

A Funny Game:给定n枚硬币，围成一个圈，每次可以取走一或两枚硬币，问谁最后能赢。

事实是，除了特判条件下，先手的必输。在这类游戏中，作出对称状态后在完全模仿对手的策略是常常有效的。

综上所述，要灵活考虑当前游戏的胜负状态，最优策略往往是唯一的，对胜负态提前规定好的游戏来说。

Nim（又叫Grundy值，国内常说SG函数）

取石子游戏：给定n堆石子，每堆各有ai个石子，轮流从非空堆中取走至少一个石子，谁最终获胜？

该游戏的策略是众多游戏的基础，要判断游戏的胜负用异或运算就好了。（从二进制的角度考虑问题）。可以证实必败态只能转移到必胜态，必胜态也总是能转移到必败态。（注意，两者有一定区别）

Grundy数

硬币游戏2:给定n堆石子，然后k个数字。谁赢？先手还是后手？

Grandy值：是任意一步所能转移到的Grandy值以外的最小非负整数。这是一堆石子的grandy值求法，可以将其看作Nim中的一个石子堆。

因此，ans=各堆石子的grandy值的异或。

其实就是由于转移条件的限制，然后将新的转移条件用Grandy值封装一下转换一下。

核心还是Ni m.