【算法讲解】区间极值查询 RMQ（Range Maximum/Minimum Query）

前言

区间极值问题在计算机编程领域中常见的问题，其描述为：

给一个数组 $A[1\dots N]$，然后有大量的询问，询问某个区间的 $[L,R],1\le L\le R\le N$ 的最大/最小值（或者下标）
例如，数组 $A=[0,5,2,5,4,3,1,6,3]$，查询 $A[3\dots 8]=[2,5,4,3,1,6]$ 的最小值 为 $A[7]=1$ （下标从1开始）

变种 & 算法

在此基础上，又有不同的常见变种，根据不同的变种，我们有对应的复杂度/写法简易度的算法来解决：

用 $O(A)\sim O(B)$ 来表示预处理需要的复杂度$A$和每次查询需要的复杂度$B$
比如最朴素的做法：不需要预处理，每次都从 L 遍历 到 R，它的时间复杂度就是 $O(1)\sim O(n)$。这个做法就不介绍了，有手就能写，但显然是最差的方案。

下面介绍一些适用于不同场景的算法

静态数组

如果 $A$ 是静态数组，既 A 的元素不会动态变化，有如下一些算法

单调栈/队列

适用于： 计算每个元素左边/右边(k 个元素)的最大最小值，既询问的区间只会是$[1,i]$、$[i,n]$ 或者 $[i-k,i]$、$[i,i+k]$
时间复杂度：$O(n)\sim O(1)$
优势：优秀的复杂度，实现简单
劣势：适用场景有限

稀疏表 Sparse Table

适用于： 无限制
时间复杂度：$O(n\log n)\sim O(1)$
优势：优秀的查询速度，实现简单
劣势：需要 $O(n\log n)$ 的空间，这个还好，其实不算缺点
备注：静态 RMQ 问题的最适合方案
也可以用于区间求和，不过询问的复杂度就不是 $O(1)$ ，而是 $O(\log n)$

并查集 Disjoint Set Union

适用于：所有询问都已经知道，离线查询
时间复杂度：$O(n)\sim O(1)$
优势：优秀的查询速度，实现简单
劣势：只适用与离线场景
备注：很神奇的技巧（由 AmirReza Poorakhavan 发明，所以也称之为 arpa’s trick）这里先简单说一下原理：将查询按照右端点桶排序，从左到右遍历，每个元素的父节点设置为右边已经遍历的最小元素，然后查询左端点的根节点即可

分块树 Sqrt Tree

适用于：无限制
时间复杂度：$O(n\log \log n)\sim O(1)$
优势：优秀的复杂度
劣势：超复杂的实现

最近公共祖先 LCA 的应用

适用于：无限制
时间复杂度：$O(n)\sim O(1)$
优势：优秀的复杂度
劣势：超复杂的实现

动态数组：

对于 A 是动态的情况，有如下几个算法：

线段树 Segment Tree

适用于：无限制
时间复杂度：$O(n)\sim O(\log n)$
空间复杂度：$O(n)$
优势：优秀的
劣势：实现略复杂
备注：静态 RMQ 问题的最适合方案
除了 RMQ，大部分区间操作、询问都可以用线段树解决

分块 Sqrt-decomposition

适用于：无限制
时间复杂度：$O(n)\sim O(\sqrt{n})$
优势：实现简单
劣势：复杂度较差

树状数组 Fenwick Tree

适用于：查询是 $[1,R]$
时间复杂度：$O(n\log n)\sim O(\log n)$
优势：实现简单
劣势：适用场景有限
备注：除了 RMQ，更适用于区间求和，区间求异或，因为这两个操作顺序无关