RMQ区间查询

最新推荐文章于 2023-06-13 16:10:30 发布

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本文介绍了一种使用动态规划思想优化线段树范围查询（RMQ）的方法，通过预处理实现O(1)时间复杂度的区间最值查询。文章详细解释了算法原理，包括dp数组和mm数组的初始化过程，以及查询函数的具体实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

之前写线段树的时候，update总是写不好，一直用的结构体指针建树或者是数组建树却不够熟练总是写错还费时间。之前在做一道cf的题时发现了这个很清楚的算法，直接就拿来用了，虽然读错题意（没错就是那个阅读理解场！）最后重写了一遍没再用到。可是今天有研究了研究这个算法觉得还是很有学习价值的。

const int maxn = 5e4+10;
int dp[maxn][20];
int mm[maxn];

void initRMQ(int n, int b[])
{
    mm[0] = -1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        mm[i] = ((i&(i-1)) == 0) ? mm[i-1]+1 : mm[i-1];
        ///mm数组初始化 含义为2进制最高位数-1
        dp[i][0] = b[i];
        ///dp[i][0] 初始化为待查询数组，从1开始储存
    }

    for(int j=1; j<=mm[n]; j++)
        ///dp按层进行遍历，最多第19层可查询区间为2的19次幂个数。
        for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++)
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            ///每层维护的两个相邻特征区间(指在第0层相邻，而不是当前层)在下一层合并
}

int rmq(int x, int y)
{
    int k = mm[y-x+1];
    ///x~y 这个区间长度需要查找到dp数组的第几层
    return max(dp[x][k], dp[y-(1<<k)+1][k]);
    ///因为查询区间有可能大于该层维护的特征区间
}

这个算法精巧的部分在于，它使用了dp的思想，通过状态转移维护区间的最值，可以做到O(1) 的快速查询。

首先我们定义dp[i][j] 为：在原数组b[]中，以b[i]为起点，长度为 1<<j 的区间中的最值。

然后我们可以发现 dp[i][0]即是我们对应的数组b，因为他维护的特征区间是1。

对于相应的j>1，每次对应的特征区间扩大二倍，即dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); dp[i][j-1]和dp[i+(1<<(j-1))][j-1]的边界在第0层是相邻的，即将这两个区间合并后的当前层维护的依然是连续区间的特征值，并且维护的区间扩大了两倍。

那么当我们查询时，我们先通过预处理出的mm数组，知道我们查询的这个区间它能够对应在第几层上（该层维护的区间长度最大，且不大于查询区间）。然后对查询区间进行查询即可。