【C++天梯计划】1.14 区间最值算法(RMQ)

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今天我要开启一个新计划----【C++天梯计划】
目的是通过天梯计划，通过题目和知识点串联的方式，完成C++复习与巩固。

什么是RMQ?

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

ST算法

来看一下ST算法是怎么实现的（以最大值为例）：
首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2(j-1)-1为一段，i+2(j-1)到i+2j-1为一段（长度都为2（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。
接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
这样就计算了从l开始，长度为2k的区间和从r-2k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

例题1：超级记忆力

题目描述

小A同学拥有无与伦比的超级记忆力，他可以一次性记住很多数字。
为了考验一下小A同学的记忆力，王老师一次性给小A展示了 NN 个整数。然后问了他 MM 个问题，每个问题给定一个区间，要求小A同学说出这个区间中的最大数是多少？
为方便老师检验小A同学的答案是否正确，请你先编程求出正确的答案。

输入

第一行两个整数 N,MN,M 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为 NN 个数；
接下来 MM 行，每行都有两个整数 X,YX,Y 表示询问的区间。
数据范围：
1≤N≤10^5,1≤M≤106,1≤X≤Y≤N1≤N≤10
5
,1≤M≤10
6
,1≤X≤Y≤N。数字不超过 C/C++ 的 int 范围。

输出

输出共 MM 行，每行输出一个数。

样例

输入
10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8
输出
5
8

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
 
long long input[100005];
 
struct Node
{
   
	int max, start, end;
	Node *left;
	Node *right;
	Node(int m, int s, int e)
	{
   
		max = m;
		start = s;
		end = e;
		left = right = NULL;
	}
};
 
int query(int l, int r, Node *root)
{
   
	if (root->