分离轴定理及向量应用

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转载最新推荐文章于 2026-10-15 13:35:36 发布 1.8k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

使用分离轴定理对多边形进行碰撞检测 分离轴定理（SAT，Separating Axis Theorem）进行二维多边形碰撞检测是一种常见且有效的方法，用于二维多边形碰撞检测的基本思想是：如果两个凸多边形不相交，那么存在一条轴（线），使得这条轴上的投影会使两个多边形的投影不重叠。换句话说，如果我们找到一条轴，使得两个多边形在这条轴上的投影不重叠，那么我们可以确定两个多边形不会相交。阅读详情

分离轴定理及向量应用

通过判断任意两个 凸多边形 在任意角度下的投影是否均存在重叠，来判断是否发生碰撞。若在某一角度光源下，两物体的投影存在间隙，则为不碰撞，否则为发生碰撞。

算法简述¹

从根本上来讲，分离轴定理（以及其他碰撞算法）的用途就是去检测并判断两个图形之间是否有间隙。分离轴定理中用到的方法使算法本身显得十分独特。
我所听到过分离轴定理的最好类比方式是这样的：
假想你拿一个电筒从不同的角度照射到两个图形上，那么会有怎样的一系列的阴影投射到它们之后的墙壁上呢？
在这里插入图片描述
如果你用这个方式从每一个角度上对这两个图形进行处理，并都找不到任何的间隙，那么这两个图形就一定接触。如果你找到了一个间隙，那么这两个图形就显而易见地没有接触。
从编程的角度来讲，从每个可能的角度上去检测会使处理变得十分密集。不过幸运的是，由于多边形的性质，你只需要检测其中几个关键的角度。
你需要检测的角度数量就正是这个多边形的边数。也就是说，你所需检测的角度最大数量就是你要检测碰撞的两个多边形边数之和。举个例子，两个五边形就需要检测10个角度。
在这里插入图片描述

代码实现²

原理很容易理解，这个算法的关键在于，如何找到这条轴。在2D的情况下，两个多边形每条边的法向量包含了这条轴的所有可能性。所以我们只需要枚举两个多边形的每条边的法向量即可。
2D向量的法向量非常好求向量（X,Y）的法向量为（Y,-X）或（-Y,X），这个算法不需要考虑方向，所以任选一种即可。
然后分别计算这两个多边形的所有点在此向量上的投影，并分别求出最大最小区域，如果没有重合，那么直接确定这两个多边形不重合，如果有重合，那么继续判断下一条边的法向量。