Uva 11029 – Leading and Trailing(快速幂取模，log(x)的应用)

最新推荐文章于 2023-08-26 07:45:00 发布

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#ACM #acm #快速幂取模

本文介绍了一种高效计算n的k次方的前三位和后三位数字的方法。利用对数函数特性处理前三位，通过快速幂取模解决后三位，并附带C++实现代码。

传送门： http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=115&page=show_problem&problem=1970

题意：给出n和k（int范围内）。求 n 的 k 次方这个数的前三位和后三位数字。

思路：对于后三位只需要快速幂取模，log₂ n 的复杂度对于 100W 的数据来说不算什么。不过这里需要注意处理乘法溢出。

而要得到前三位，需要用一个高中学过的“对数函数“。

对于 X 令a= log₁₀X。i 是 a 的整数部分。d 是 a 的小数部分。

a的整数部分 i 只反映 X 小数点的位置。小数部分d反应x的数码（重点）
如果把 a 的整数部分去掉。剩下的 d取次幂。结果就会反映X的数码了。

公式说明如下：

由上可得： a=i+d;（i,d还是上面的含义）

令 k = 10^d 。由于0<d<1 所以="" 1<k="" <="" 10,<="" p="">

d = a – i ; k = 10^a/ 10ⁱ .这里i是整数

所以 k 可以看做是X 除以10直到范围落在1到10之间。

k的形式是a.bcdef 那么abc就是我们想要的了。

回归到本题的解决办法。对于n的k次方可以用公式 log₁₀n^k= k * log₁₀n 求得对数指，然后处理整数部分到2(想想为什么？提示：和答案要求的前3位有关)。得到 a，再算出b = 10^a.答案就是b的整数部分了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<limits.h>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
 
using namespace std;
 
int f1(int n,int k){         //求n的k次方前三位。
    double a = (log (n)/log(10.0) )* k;
    int b = a ;
    a=a-b + 2;             //整数部分的处理
    a= pow ( 10.0 , a ) ;
    return b=(a+0.000000001); //浮点数误差控制
 
}
int f2(int n,int k){   //求n的k次方后三位，快速幂取模
    if(k==0)
        return 1;
    int ans=f2( n , k/2 );
    ans=(ans*ans)%1000;
    if(k%2==1)
        ans=(ans*n)%1000;
    return ans;
}
int main(){
    int  t ,n ,k ;
    scanf( "%d" ,&t );
    while(t--) {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        int a1 = f1(n,k);
        int a2 = f2(n%1000,k);
        if(a2==0){                         //题目的格式要求。这里容易贡献一个Wa
            printf("%d...000\n",a1);
            continue;
        }
        if(a2<10){
            printf("%d...00%d\n",a1,a2);
            continue;
        }
        if(a2<100){
            printf("%d...0%d\n",a1,a2);
            continue;
        }
         printf("%d...%d\n",a1,a2);
    }
    return 0;
}