本文详细介绍了KMP算法的原理与应用，并探讨了如何使用AC自动机解决多模式串匹配问题。通过实例讲解了KMP算法的实现细节及其在解决特定问题中的优势。
字符串匹配问题
给定两个字符串，其中一个文本串T[1..n], 另一个是模式串P[1...m]。确定T中是否存在与P串完全相等的（连续的）子串，若有，输出T中和P完全匹配的子串的起始位置。 模板题 HDU 1711点这里。
给定若干个字符串，其中一个是文本串T[1...n]，其他的都是模式串Pi[1....mi]。确定T中有多少个子串和其中一个Pi完全相等。输出所有匹配结果。 模板题 HDU 2222 点这里
对于第一个问题——单模式串匹配
朴素匹配算法: 用一个循环枚举T[1....n]中所有的起点1~n, 将T从起点开始和P[1...m]匹配。最坏情况是每一个T起点都匹配到P 的最后一个然后失败，如T = aaaa……..aaab, P = aaaaaaaab。故复杂度O(n*m)。很多时候这样的算法复杂度不能满足题目要求例如上面的例题。 不过这种起点逐个尝试的思路是其他字符串匹配算法的基础。PS：（可能说的不好，未能体现KMP的精髓，不过都是本人自学的心得。见谅~）
KMP算法： KMP算法可以拥有线性的算法复杂度上界，其过程并不复杂，只是需要用到上面朴素匹配算法没用到的一种重要性质。
先来定义一点东西：定义一个前缀函数π（T）：返回一个长度—— T的真后缀（比T短的后缀）和T的真前缀相等中长度最大值。
就是最大的k使得T[1...k] = T[k-n+1.....n].
例如T = ababa， 则π（T）= 3
ababa
ababa
显然总是有π(T) < T.len ; T的长度len。
KMP算法思想
假设T[s+1....s+k] 与P [1..k] 已经匹配。如果k==m那么返回匹配完成。
如果k<m呢？< span="">
N：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
T: b a c b a b a b a a b c b a b…..
P: a b a b a c a
如上，P的前5个字符已经和T的匹配，而接下来的第六个匹配却失败了。
按照朴素匹配算法，此时会从T的5号位置从新开始对P匹配。
然而朴素的算法忽略了一些信息：P的前5个字符已经匹配成功的事实可以确定T中相应的位置的信息，而KMP算法正是利用这些信息立即得知某些新的起始位置是非法的（也就是说从这个起点出发不可能有成功的匹配），排除掉这些非法起始位置同时可以迅速得知P在新位置的匹配情况，有效提高算法效率。
以下部分建议拿出纸和笔自行画图模拟。再多的文字描述不如画图来的实际。
如果P已经完成 1 ~ k 的匹配，k+1匹配失败，如何正确确定新的起始位置呢？按照原来假设
有T [ s + 1 ... s + k ] = P[ 1 ... k ] π( P [ 1 ... k ] ) = t。显然 t < k 。这时候只需要将模式串P右移使得P串t长的前缀刚好和本来位置t长的P1后缀重合，然后继续让T[s+k+1]和P[t+1]开始匹配就行了。为什么可以这样呢？首先可以证明：P这样的右移（右移了k-t）是最少量的合法右移。这意味着右移量(1….k-t+1)都是不合法的。下面图片是粗略的证明过程。
知道这一性质，可以认为每次失败匹配后，P可以跳过许多非法起点而直接从s+k-t+1开始。即模式串P向右移动k – t 位（也就是上图P应直接移动到黄色部分以后的蓝色部分开始匹配）。因为前缀函数的定义，移位后的P可以和移位前T停止的地方重新开始匹配。（因为移位后P的前缀就和本来的后缀重合了）。确定了移动位置之后，又再用相同的策略来考虑新的匹配。
如此KMP算法可以分成以下两步：
1.先求得给定模式串P[1....m]每一个前缀函数。
2.用T从1号开始和P匹配。
遇到匹配失败的时候就按照上面说到的操作移动P。继续按照相同的策略匹配。
具体在写算法的时候，可以用两个指针 i , j 分别指着P 和T 。按照上面的步骤，当T[i] == P[j]的时候i 和j 同时像右移。否则，就应该让P向右移使得P[1..k]的π（k）长的前后缀重合。相当于是i 指向 π(i)。这里还有一个问题：P[1...m]的每一个前缀函数怎么求得？其实求P的前缀函数过程与T和P匹配的过程是很相像的（可以参看我的模板，二者真的很像……），至于怎么实现就留着当做一点思考吧，理解了之后会对KMP有更好的认识。
我的模板（字符串从0开始，各种参数都和推导结果不一样）：
//字符串从0开始
void Get_fail() //构造失败指针
{
int i = 0, len = strlen(p);
fail[0] = -1;
for(int j = 0; j < len; )
{
while(i != -1 && p[i] != p[j])//不匹配则P向右移动
i = next[i];
i++; /匹配。
j++;
next[j] = i;
}
}
int KMP() //匹配
{
int i = 0;
int len = strlen(t), end = strlen(p);
for(j = 0; j < len; )
{
while(i != -1 && p[i] != t[j])//不匹配则P向右移动
i = next[i];
i++; //匹配。
j++;
if(j == end) //完成匹配
return i - end;
}
return -1;
}复杂度方面：KMP算法计算模式串P的前缀函数的复杂度是线性的，P和T匹配的复杂度也是线性的。所以可以认为总复杂度是O(n+m)。具体看来，j 指针只有在匹配成功的时候才能右移，故 j 移动次数刚好是n， 而 i 指针在 i = fail[i]及匹配成功时都会移动，不过需要注意到i只能右移n次，而执行 i = fail[i]时至少左移一次，故总的移动次数不会超过2*n。
前面的模板题 HDU 1711只是把字符串换成数字，其实一个意思~
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 10000 + 5, N = 1000000 + 5;
int p[M], t[N], fail[M];
void Get_fail(int m)
{
int i = 0;
fail[0] = -1;
for(int j = 1; j < m;)
{
while(i != -1 && p[i] != p[j])
i = fail[i];
i++;
j++;
fail[j] = i;
}
}
int KMP(int m, int n)
{
int i = 0;
for(int j = 0; j < n;)
{
while(i != -1 && p[i] != t[j])
i = fail[i];
i++;
j++;
if(i == m)
return j - m + 1; //适应题目的编号要求~
}
return -1;
}
int main()
{
int Cas, n, m, i;
scanf("%d", &Cas);
while(Cas--)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &t[i]);
for(i = 0; i < m; i++)
scanf("%d", &p[i]);
Get_fail(m);
printf("%d\n", KMP(m, n));
}
return 0;
}推荐若干习题:Because of you的博客里一个kmp专题,传送门 -> 点这里 。
涉及的都是KMP算法的核心——前缀函数π，包括求最长循环子串等。
难度适中，而且AC代码都有，我就不放我的出来献丑了。
另外还有一道不错的ZOJ月赛题： ZOJ 3587 → 点这里，思路不会很难但是做完会有不少启发~尤其是我这种WA了10多次的 :(
AC代码，献丑了：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include
<limits.h>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
char s[N], p[N];
long long fail[N], cnt[N], res1[N], res2[N];
void Rev(char str[])
{
int i = 0, j = strlen(str) - 1;
char t;
while(i < j)
{
t = str[i];
str[i] = str[j];
str[j] = t;
i++;
j--;
}
}
void Get_fail()
{
int i = -1;
fail[0] = -1;
for(int j = 0; p[j];)
{
while(i != -1 && p[i] != p[j])
i = fail[i];
i++;
j++;
fail[j] = i;
}
}
void KMP()
{
int i = 0;
for(int j = 0; s[j]; )
{
while(i != -1 && s[j] != p[i])
i = fail[i];
i++;
j++;
cnt[i] ++;
}
}
void Get_res(long long res[], int len)
{
int i;
for(i = len; i > 0; i--)
{
res[i] = cnt[i];
cnt[fail[i]] += cnt[i];
}
}
int main()
{
int Cas;
scanf("%d", &Cas);
while(Cas--)
{
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
memset(res1, 0, sizeof(res1));
memset(res2, 0, sizeof(res2));
scanf("%s%s", s, p);
int len = strlen(p);
Get_fail();
KMP();
Get_res(res1, len);
Rev(s);
Rev(p);
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
Get_fail();
KMP();
Get_res(res2, len);
long long ans = 0;
for(int i = 1; i < len; i++)
{
ans += res1[i] * res2[len - i];
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
==========华丽的分割线================
对于第二个问题——多模式串匹配：
这个问题和上面第一个问题相比，只多了一种条件——模式串P的个数，他们形成一个集合SP。可以沿用KMP算法来解决，分别将T和每一个模式串匹配，统计匹配的次数 ，当匹配完成后i指针回归fail[i]。这是一个可行的方法，复杂度会是O(n*|SP| ) ，然而对于上面的第二个模板题，这种复杂度是不可以接受的。这时候我们就需要用到一种新的算法：AC自动机。
我初学AC自动机的时候是拜读了NotOnlySuccess 大神(orz。。。。) 的博客里面的一份论文。给出博客传送门自己去下载吧，我就不盗链了……：传送门。正如NotOnlySuccess大神所说：网上有好多阐述AC自动机算法的博客不过都没有说的很好的，而那份论文能严谨而面面俱到，看了会让人有茅塞顿开的感觉。所以还是强力建议直接去啃那份极品论文吧。看完之后直接切他博客的题目好了，都是好题。另外我自己将那篇论文搞了篇译文：《Biosequence Algorithms, Spring 2005 Lecture 4: Set Matching and Aho-Corasick Algorithm》 欢迎阅读。
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