Night的数学杂谈——模数不互质的CRT

最新推荐文章于 2022-11-27 16:43:12 发布

Night2002

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分类专栏：算法与数据结构文章标签：数论中国剩余定理

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本文介绍了如何通过扩展欧几里德算法合并多个同余方程的方法，详细讲解了从不定方程到同余方程的转换过程，并最终求解合并后的同余方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前置技能点要求懂得基础的数论知识和扩展欧几里德算法
有关于前置技能点的东西不会就别问我了。
写挂哪里请评论戳我。

进入正题

我们要合并同余方程

{x \equiv r 1 (mod m 1) x \equiv r 2 (mod m 2)

$\begin{cases}x\equiv r_1\pmod{m_1} \\ x\equiv r_2\pmod{m_2}\end{cases}$
即：

{x = n 1 \times m 1 + r 1 x = n 2 \times m 2 + r 2

$\begin{cases} x=n_1\times m_1+r_1 \\ x=n_2\times m_2+ r_2\end{cases}$

则：

n 1 \times m 1 + r 1 = n 2 \times m 2 + r 2 \Leftrightarrow n 1 \times m 1 - n 2 \times m 2 = r 2 - r 1 \dots \dots (1)

$n_1\times m_1+r_1=n2\times m_2+r_2 \Leftrightarrow n_1\times m_1 -n_2\times m_2 =r_2-r_1 \cdots \cdots (1)$

考虑这样一个不定方程

a x + b y = (a, b) \Leftrightarrow a ( a , b ) + b ( a , b ) = 1 \Leftrightarrow a x \equiv (a, b) (mod b)

$ax+by=(a,b)\Leftrightarrow \frac{a}{(a,b)}+\frac{b}{(a,b)}=1 \Leftrightarrow ax\equiv (a,b) \pmod{b}$

当其存在特解 $(x_0,y_0)$ 时，通解 $(x,y)$ 如下：

{x = x 0 + K \times b ( a , b ) y = y 0 + K \times a ( a , b ) K \in Z

$\begin{cases}x=x_0+\frac{K\times b}{(a,b)} \\ y=y_0+\frac{K\times a}{(a,b)} \end{cases} K\in \mathbb{Z}$

在 $(1)$ 中，取 $(m_1,m_2)为(x,y)$ ， $(n_1,n_2)为(a,b)$ .

这样一来为了使得存在整数解 $(m_1,m_2)$ ，需使 $\gcd(n_1,n_2) | (r_2-r_1)$ .

因此可以设

{g = gcd (n 1, n 2) r = r 2 - r 1

$\begin{cases}g=\gcd(n_1,n_2)\\r=r_2-r_1\end{cases}$

则有（把不定方程先弄成同余方程）

n 1 g \times m 1 \equiv r g (mod n 2 g) \Leftrightarrow m 1 \equiv r g \times (n 1 g) - 1 (mod n 2 g)

$\frac{n_1}{g}\times m_1\equiv \frac{r}{g} \pmod{\frac{n_2}{g}}\Leftrightarrow m_1 \equiv \frac{r}{g}\times (\frac{n_1}{g})^{-1}\pmod{\frac{n_2}{g}}$

取

K = r g \times (n 1 g) - 1

$K=\frac{r}{g}\times (\frac{n_1}{g})^{-1}$

则（相当于又把同余方程化为不定方程）

k 1 = n 2 g \times y + K

$k_1=\frac{n_2}{g} \times y +K$

将 $k_1$ 带入原方程组，则

{x = n 1 \times (n 2 g \times y + K) + r 1 x = \times n 1 n 2 g + r 2

$\begin{cases} x=n_1\times (\frac{n_2}{g} \times y +K)+r_1 \\ x=\times \frac{n_1n_2}{g}+ r_2\end{cases}$

化简得

x = n 1 K + r 1 (mod n 1 n 2 g) \Leftrightarrow x \equiv n 1 \times r gcd ( n 1 , n 2 ) \times (n 1 gcd ( n 1 , n 2 )) - 1 + r 1 (mod n 1 n 2 gcd ( n 1 , n 2 ))

$x=n_1K+r_1\pmod{\frac{n_1n_2}{g}} \Leftrightarrow x\equiv n_1\times \frac{r}{\gcd(n_1,n_2)}\times (\frac{n_1}{\gcd(n_1,n_2)})^{-1}+r_1 \pmod{\frac{n_1n_2}{\gcd(n_1,n_2)}}$

其中 $\frac{n_1n_2}{g}$ 即是 $n_1,n_2$ 的最小公倍数。
多个方程你就两个两个合并一下就好了…吧。