中国剩余定理求解同余线性方程组—（互素和非互素的情况）

中国剩余定理

     中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法，是数论中的一个重要定理。

     设m1，m2，m3，...，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

则同余方程组：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以写为这种形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

      其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'为mi在模ni乘法下的逆元。

 

中国剩余定理非互质版

    中国剩余定理求解同余方程要求模数两两互质，在非互质的时候其实也可以计算，这里采用的是合并方程的思想。下面是详细推导。

 

例

FZU1402 中国剩余定理

Cpp代码   

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <cstring>  
4. using namespace std;  
5. typedef __int64 int64;  
6. int64 a[15],b[15];  
7.   
8. int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
9. {  
10.     if(b==0)  
11.     {  
12.         x=1,y=0;  
13.         return a;  
14.     }  
15.     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
16.     int64 t = x;  
17.     x = y;  
18.     y = t - a/b*y;  
19.     return d;  
20. }  
21. //求解模线性方程组x=ai(mod ni)  
22. int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)  
23. {  
24.     int i;  
25.     int64 N = 1;  
26.     int64 result = 0;  
27.     for(i = 0; i < len; i++)  
28.         N = N*n[i];  
29.     for(i = 0; i < len; i++)  
30.     {  
31.         int64 m = N/n[i];  
32.         int64 x,y;  
33.         Extend_Euclid(m,n[i],x,y);  
34.         x = (x%n[i]+n[i])%n[i];  
35.         result = (result + m*a[i]*x%N)%N;  
36.     }  
37.     return result;  
38. }  
39.   
40. int main()  
41. {  
42.     int n;  
43.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
44.     {  
45.         for(int i = 0; i < n; i++)  
46.             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
47.         printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));  
48.     }  
49.     return 0;  
50. }  

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1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <cstring>  
4. using namespace std;  
5. typedef __int64 int64;  
6. int64 a[15],b[15];  
7.   
8. int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
9. {  
10.     if(b==0)  
11.     {  
12.         x=1,y=0;  
13.         return a;  
14.     }  
15.     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
16.     int64 t = x;  
17.     x = y;  
18.     y = t - a/b*y;  
19.     return d;  
20. }  
21. //求解模线性方程组x=ai(mod ni)  
22. int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n)  
23. {  
24.     int i;  
25.     int64 N = 1;  
26.     int64 result = 0;  
27.     for(i = 0; i < len; i++)  
28.         N = N*n[i];  
29.     for(i = 0; i < len; i++)  
30.     {  
31.         int64 m = N/n[i];  
32.         int64 x,y;  
33.         Extend_Euclid(m,n[i],x,y);  
34.         x = (x%n[i]+n[i])%n[i];  
35.         result = (result + m*a[i]*x%N)%N;  
36.     }  
37.     return result;  
38. }  
39.   
40. int main()  
41. {  
42.     int n;  
43.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
44.     {  
45.         for(int i = 0; i < n; i++)  
46.             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
47.         printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));  
48.     }  
49.     return 0;  
50. }  

 

 

 

POJ2891 非互质版

Cpp代码   

1. /** 
2. 中国剩余定理（不互质） 
3. */  
4. #include <iostream>  
5. #include <cstdio>  
6. #include <cstring>  
7. using namespace std;  
8. typedef __int64 int64;  
9. int64 Mod;  
10.   
11. int64 gcd(int64 a, int64 b)  
12. {  
13.     if(b==0)  
14.         return a;  
15.     return gcd(b,a%b);  
16. }  
17.   
18. int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y)  
19. {  
20.     if(b==0)  
21.     {  
22.         x=1,y=0;  
23.         return a;  
24.     }  
25.     int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);  
26.     int64 t = x;  
27.     x = y;  
28.     y = t - a/b*y;  
29.     return d;  
30. }  
31.   
32. //a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1  
33. int64 inv(int64 a, int64 n)  
34. {  
35.     int64 x,y;  
36.     int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);  
37.     if(t != 1)  
38.         return -1;  
39.     return (x%n+n)%n;  
40. }  
41.   
42. //将两个方程合并为一个  
43. bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3)  
44. {  
45.     int64 d = gcd(n1,n2);  
46.     int64 c = a2-a1;  
47.     if(c%d)  
48.         return false;  
49.     c = (c%n2+n2)%n2;  
50.     c /= d;  
51.     n1 /= d;  
52.     n2 /= d;  
53.     c *= inv(n1,n2);  
54.     c %= n2;  
55.     c *= n1*d;  
56.     c += a1;  
57.     n3 = n1*n2*d;  
58.     a3 = (c%n3+n3)%n3;  
59.     return true;  
60. }  
61.   
62. //求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质  
63. int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n)  
64. {  
65.     int64 a1=a[0],n1=n[0];  
66.     int64 a2,n2;  
67.     for(int i = 1; i < len; i++)  
68.     {  
69.         int64 aa,nn;  
70.         a2 = a[i],n2=n[i];  
71.         if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))  
72.             return -1;  
73.         a1 = aa;  
74.         n1 = nn;  
75.     }  
76.     Mod = n1;  
77.     return (a1%n1+n1)%n1;  
78. }  
79. int64 a[1000],b[1000];  
80. int main()  
81. {  
82.     int i;  
83.     int k;  
84.     while(scanf("%d",&k)!=EOF)  
85.     {  
86.         for(i = 0; i < k; i++)  
87.             scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);  
88.         printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));  
89.     }  
90.     return 0;  
91. }