算法复习——图算法篇之最小生成树之Prim算法

算法复习——图算法篇之最小生成树之Prim算法

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

​ 道路修建：需要修建道路连通城市，各道路花费不同，如下图所示。

​ 上图中给出了一些道路修建方案，现要求连通各城市的最小花费。

​ 这个问题本质上就是求解权重最小的连通生成子图。子图和生成子图的概念可参考算法复习——图算法篇之图的基本概念。更进一步，可以给出生成树的定义，即图$T^{\prime }=<V^{\prime },E>$是无向图$G$的一个生成子图，并且是连通、无环路的（树）。其实，我们要求的权重最小的连通生成子图一定是一棵生成树，因为如果存在环路，则至少两个城市之间连通的路至少有两条，也就是说在已经通过一条路连通的情况下再通过另一条路连通，一定产生了冗余的花费，这是没必要的。正是由于最小性的条件，我们最终的任务就变成了求解权重最小的生成树。

​ 同时，通过上图可知，权重最小的生成树可能不唯一。

2. 问题定义

最小生成树问题（Minimum Spanning Tree Problem）

输入：

• 连通无向图$G=<V,E,W>$，其中$w(u,v)\in W$表示边$(u,v)$的权重

输出：

• 图$G$的最小生成树$T=<V_T,E_T>$

$$\begin{gathered} min\sum _{e\in E_T}w(e) \\ s.t.V_T=V,E_T\subseteq E \end{gathered}$$

3. 通用框架

需注意，通用框架不是一个具体的算法，而是求解这个最小生成树问题的总的方针策略。这个方针策略不会细节到具体的实现步骤，但是是具体算法背后最本质的思想。Prim算法和Kruskal算法都是基于这个方针策略和总体思想衍生出来的

3.1 总体框架分析

​ 生成树是一个无向图中的连通、无环的生成子图。也就是说图中的所有顶点都会包含在这个最小生成树中，问题其实只是讨论哪些边该选择，哪些边不该选择。因此，

• 新建一个空边集A，边集A可逐步扩展为最小生成树；
• 每次向边集A中新增加一条边，并有以下约束条件：
  • 需保证边集A仍是一个无环图（通用框架没有阐述如何去检验无环性，只是说应该去检验无环性）；
  • 需保证边集A仍是最小生成树的子集；

​ 大家看第二个约束条件，可能会觉得这是句废话orzzz（我如果已经知道了最小生成树有那些边，我还求它干啥呢qwq）。那么问题就变成了如何保证边集A仍是最小生成树的子集呢？

3.2 相关概念

• 安全边（Safe Edge）
  • $A$是某棵最小生成树T边的子集，$A\subseteq T$
  • $A\cup (u,v)$仍是T边的一个子集，则称$(u,v)$是$A$的安全边

​ 也就是说若每次向边集A中新增安全边，可保证边集A是最小生成树的子集。（内心os：这不是就换了一个概念，重复了一遍废话嘛嘤嘤嘤）（emmm其实真的不是，不急，且听下面分解）

​ 于是，就可以生成通用的求解最小生成树的框架：

Generic-MST(G)

A <- 0
while 没有形成最小生成树 do
	寻找A的安全边(u, v)
	A <- A | (u, v)	// 取并集
end
return A

​ 那么，问题就变成了如何有效辨识安全边？

​ 继续给出如下定义：

• 割（Cut）

  • 图$G=<V,E>$是一个连通无向图，割$(S,V$