算法复习——图算法篇之拓扑排序

算法复习——图算法篇之拓扑排序

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

​ 举一个生活中的实例，穿衣服是有顺序，比如肯定是先穿袜子，再穿鞋，不可能是先穿鞋，再穿袜子。

​ 如上图所示，对于这类问题，我们可以用有向无环图里来表示事件发生的先后顺序，其中，有向规定了先后顺序，无环则避免了相互依赖。那么，问题就是比如在穿衣的这个生活场景中，如何确定一个可行的穿衣顺序呢？

​ 我们可以给出以下的方案：

​ 它要求有向图任意边的起点排在终点前面。

2. 问题定义

拓扑排序（Topological Sort）

输入：

• 有向无环图$G=<V,E>$

输出：

• 图顶点$V$的拓扑序$S$，满足：对任意有向边$(u,v)$，排序后$u$在$v$之前

​ 显然，拓扑序是不唯一的，满足条件即可。

3. 广度优先策略

3.1 算法思想

• 有向图顶点的度分为入度和出度
  • 顶点$u$的入度：终点为$u$的边数
  • 顶点$v$的出度：起点为$u$的边数
• 若顶点入度为0，所对应事件无制约，可直接完成
• 完成入度为0对应的事件
• 删除完成事件，产生新的入度为0点，继续完成

3.2 伪代码

输入：图G

输出：顶点拓扑序

初始化空队列q
for v ∈ V do
	if v.in_degree = 0 then
		Q.Enqueue(v)
	end
end
while not Q.is_empty() do
	u ← Q.Dequeue()
	print u
	for v ∈ G.Adj(u) do
		v.in_degree ← v.in_degree - 1
		if v.in_degree = 0 then
			Q.Enqueue(v)
		end
	end
end

​ 该算法的时间复杂度是$O(|V|+|E|)$。

4. 深度优先策略

4.1 算法思想

• 从DFS的视角观察

  • 穿衣顺序和搜索深度有关：深度越深，顺序越靠后

  • 深度越深

    • 发现时刻越晚
    • 完成时刻越早

  • 那么，我们是按照发现时刻顺序还是按照完成时刻逆序来生成拓扑序呢？

  • 我们可以看下方的实例。假设从袜子出发，下一个点是鞋子，然后就走完了一棵深度优先树。袜子的发现时刻和完成时刻是1和4，鞋的发现时刻和完成时刻是2和3。接着，如果下一个访问的是短裤，则短裤的发现时刻是5，这时，就出问题了。若按发现时刻顺序执行，会先穿鞋后穿短裤，拓扑序错误。

  

  • 继续走完该实例，会发现按照完成时刻逆序执行，没有出问题，那我们需要证明算法的正确性。

4.2 正确性证明

• 已知深度优先搜索确定的顺序：顶点完成时刻的逆序
• 已知拓扑序：对任意边$(u,v)$，$u$在$v$前面
• 需证明对任意边$(u,v)$，完成时刻满足：$f(u)>f(v)$
  • 证明：设当前顶点为$u$，搜索顶点$v$
    • 若$v$为白色，$v$是$u$的后代，$f(u)>f(v)$（括号化定理）
    • 若$v$为黑色，$v$已经完成，$u$尚未完成，$f(u)>f(v)$
    • $v$不可能是灰色，因为给定的图是有向无环图，不存在后向边，若当前顶点为$u$，但搜索到了灰色的$v$，那只能说明$v$发现得比$u$发现得还早，也就存在$v$到$u$的反向边，成环了。

4.3 伪代码

Topological-Sort-DFS(G)

输入：图G​

输出：顶点拓扑序

L ← DFS(G)
return L.reverse()

DFS(G)

输入：图G

新建数组color[1..V],L[1..V]
for v ∈ V do
	color[v] ← WHITE
end
for v ∈ V do
	if color[v] = WHITE then
		L' ← DFS-Visit(G, v)
		向L结尾追加L'
	end
end
return L

DFS-Visit(G, v)

输入：图G，顶点v

输出：按完成时刻从早到晚排列的顶点L

color[v] ← GRAY
for w ∈ G.Adj[v] do
	if color[w] = WHITE then
		L ← DFS-Visit(G, w)
	end
end
color[v] ← BLACK
向L结尾追加顶点v
return L

​ 该算法的时间复杂度是$O(|V|+|E|)$。