上海市计算机学会竞赛平台(iai.sh.cn)2023三月月赛(丙组)解题报告

文章介绍了几道编程竞赛中的题目,包括循环字母序列的查询、整数分类、音乐播放时间计算以及数对比例关系的查找。解题思路主要涉及简单的数学逻辑、模运算和循环处理,以及利用前缀和优化算法。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

前言

总的来说这次的丙组偏简单,像我这个菜鸟都能在赛场上AK,之前的比赛后两题会有递归搜索并且要有一定的数学思维,但这次并没有什么高深的算法或者数学思维。
一到三题不用多说,是模拟题,可能带点技巧。从第四题开始考的是线性代数,简单的数学结论。

不多说了,直接正文。

神奇的字母序列

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个由”LLL","CCC“,”RRR“三个字母组成的循环序列:”LCRLCRLCRLC⋯LCRLCRLCRLC\cdotsLCRLCRLCRLC“,这个序列的循环节为“LCRLCRLCR”。
现在给定一个数字n,请求出这个序列的第n位是哪个字母。

输入格式

单个整数:表示 n。

输出格式

单个字符:表示字母序列的第n个字母。

数据范围

对于 50%50\%50% 的数据,1≤n≤1,000,0001\leq n\leq 1,000,0001n1,000,000

对于 100%100\%100% 的数据,1≤n≤1,000,000,0001\leq n\leq 1,000,000,0001n1,000,000,000

样例数据

输入:

5

输出:

C

解题思路

由于原字符串为“LCRLCRLCR”,对于循环序列的第nnn个字母,我们直接模3将对应的数字数出来即可。这里用了一个技巧,将最后一个字母移到最前面就不用特判了。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	string s="RLC";
	cin>>n;
	cout<<s[n%3]<<endl;
	return 0;
}

约数的分类

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

古希腊数学家尼科马霍斯(NicomachusNicomachusNicomachus)根据整数的真因数之和与该数的大小关系,将整数分为三类:

  • 当这个整数的所有真因数之和大于其本身时,称该数为过剩数(AbundantAbundantAbundant
  • 当这个整数的所有真因数之和小于其本身时,称该数为不足数(DeficientDeficientDeficient
  • 当这个整数的所有真因数之和恰好等于其本身时,称该数为完美数(PerfectPerfectPerfect
    所谓 aaa 的真因数是指 aaa 的因数且该数小于 aaa。给定一个正整数nnn,请判断它是过剩数,不足数还是完美数。

输入格式

单个整数:表示给定的数字。

输出格式

根据输入整数的分类,输出 AbundantAbundantAbundantDeficientDeficientDeficientPerfectPerfectPerfect

数据范围

对于 50%50\%50% 的分数,1≤n≤1,000,0001\leq n\leq 1,000,0001n1,000,000
对于 100%100\%100% 的分数,1≤n≤2,000,000,0001\leq n\leq 2,000,000,0001n2,000,000,000

样例数据

输入:

6

输出:

Perfect

说明:

6=1+2+3

输入:

7

输出:

Deficient

说明:

7是素数只有一个真因子1

输入:

12

输出:

Abundant

说明:

1+2+3+4+6>12

解题思路

这是一道简单的模拟题,将每个数除自身以外的因子加起来,与原数作比较,按照题意输出,这里考虑到因子之和可能会爆intintint,注意要开long longlong\ longlong long

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long n,cur=0;
	cin>>n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){
			if(i*i==n)
				cur+=i;
			else{
				cur+=i;
				cur+=n/i;
			}
		}
	}
	cur++;
	if(cur<n)
		cout<<"Deficient"<<endl;
	if(cur==n)
		cout<<"Perfect"<<endl;
	if(cur>n)
		cout<<"Abundant"<<endl;
	return 0;
}

循环播放

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

又是一年春暖花开,小爱与家人一起开车出游,在漫长的路途上,他开始播放自己的歌单以舒缓疲劳。

小爱的歌单中有nnn首歌,其中第 iii 首歌的时长为 tit_iti分钟,这些歌将以循环的方式播放,即播放完第 nnn 首歌后,会继续播放第 111 首歌。

小爱出发那一刻起,从第 111 首歌开始循环播放整个歌单,请问当 TTT 分钟后到达目的地时,正在播放第几首歌?

输入格式

  • 第一行,一个正整数nnn,表示歌单中曲目数
  • 第二行,nnn个正整数t1,t2,...,tnt_1,t_2,...,t_nt1,t2,...,tn分别表示每首歌的时长
  • 第三行,一个正整数TTT,表示开车时间

输出格式

输出到达目的地时,正在播放的歌曲编号。

数据范围

对于30%30\%30%的数据,1≤n≤101\leq n \leq 101n10,1≤ti,T≤1031\leq t_i,T \leq 10^31ti,T103
对于60%60\%60%的数据,1≤n≤1051\leq n \leq 10^51n105,1≤ti,T≤1081\leq t_i,T \leq 10^81ti,T108
对于100%100\%100%的数据,1≤n≤1051\leq n \leq 10^51n105,1≤ti,T≤10181\leq t_i,T \leq 10^{18}1ti,T1018

样例数据

输入:

5
3 6 2 4 5
24

输出:

2

输入:

5
3 6 2 4 5
20

输出:

5

解题思路

对于这种循环之类的题目,先将总时长用t记录下来,然后就是先将歌曲的总时长模一下,找到最后遍音乐播放的时长再次赋值到t中,节省变量AWA,然后用前缀和将每首音乐的结束时间记录下来,然后在跑一遍,如果当前音乐的时长在前一首结束时间之后,在后一首结束时间之前(或者刚好结束),那么当前播放的音乐就是后面一首。输出答案就可以啦。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e5+10;

long long n,t,a[MAXN],cnt=0;

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		cnt+=a[i];
	}
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]+=a[i-1];//做个前缀和,将每首歌结束的时间记录下来
	t=t%cnt;
//	cout<<t<<endl;
//	for(int i=0;i<=n;i++)
//		cout<<a[i]<<" ";
	if(t==0)
		cout<<n<<endl;
	else{
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if(t>a[i]&&t<=a[i+1]){
				cout<<i+1<<endl;
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

数对的个数

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

现在给定两个长度为nnn的正整数序列a1,a2,⋯ ,an,b1,b2,⋯ ,bna_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}a1,a2,,an,b1,b2,,bn
问存在多少对数对(i,j),1≤i<j≤n(i,j),1\leq i<j\leq n(i,j),1i<jn满足aiaj=bjbi\frac{a_{i}}{a_{j}}=\frac{b_{j}}{b_{i}}ajai=bibj

输入格式

输入第一行,一个正整数nnn,表示序列的长度。接下来nnn行,每行两个正整数ai,bia_{i},b_{i}ai,bi

输出格式

单个整数:表示表示满足题意的数对的个数。

数据范围

对于 50%50\%50% 的数据,1≤n≤10001\leq n\leq 10001n1000
对于 100%100\%100% 的数据,1≤n≤1,000,000,1≤ai,bi≤10001\leq n\leq 1,000,000,1\leq a_{i},b_{i}\leq10001n1,000,000,1ai,bi1000

样例数据

输入:

3
4 5
3 8
10 2

输出:

1

解题思路

首先看数据量,前50%50\%50%的数据量可以O(n2)O(n^2)O(n2)枚举。但是100%100\%100%的数据很大,所以正解肯定是线性的,算法复杂度为O(n∗log n)O(n*log \ n)O(nlog n).

题目中所说的需要满足的条件是aiaj=bjbi\frac{a_{i}}{a_{j}}=\frac{b_{j}}{b_{i}}ajai=bibj,可以转化为ai∗bi=aj∗bja_i*b_i=a_j*b_jaibi=ajbj,也就是说我们需要在nnn个数中找到乘积相等的数的个数ttt,将并且将t做组合数学求和,但是注意组合的个数大于或等于2,所以ttt要减一,用ansansans将所有可能加起来就是问题的解。ansansans变量记得开long longlong\ longlong long。求和会爆intintint

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e6+10;

int n,a,b,c[MAXN];
long long ans=0;

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a>>b;
		c[i]=a*b;
	}
	sort(c+1,c+n+1);//先排个序,方便查找相同的数的个数
//	for(int i=1;i<=n;i++){
//		cout<<c[i]<<" ";
//	}
//	cout<<endl;
	c[n+1]=-1;//注意这里要在最后一个设置一个不可能的数,否则最后一个子串扫不出来!!
	int p=c[1],t=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++){//这里要多枚举一个,防止最后一个子串扫不到!!
		if(p==c[i]) t++;//查找相同的个数
		else{
			if(t>=2){
				int tt=t-1;
//				cout<<(1+tt)*tt/2<<endl;
				ans+=(1+tt)*tt/2;//组合数学求和
			}
			p=c[i];
			t=1;//清“1”
		}
	}
	cout<<ans<<endl; 
	return 0;
}

选取子段

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个长度为nnn的序列 a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an,请问多少种方案,能够从中选取一个长度恰好为 mmm 的子段,且子段内所有数字的最大值不超过KKK

输入格式

输入共两行:
输入第一行,三个正整数n,m,Kn,m,Kn,m,K
输入第二行,nnn个整数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an

输出格式

输出一个整数,表示方案数。

数据范围

对于 30%30\%30% 的数据,1≤m≤n≤101 \leq m \leq n \leq 101mn10
对于 60%60\%60%的数据,1≤m≤n≤1031 \leq m \leq n \leq 10^31mn103
对于 100%100\%100% 的数据,1≤m≤n≤1051 \leq m \leq n \leq 10^51mn105−109≤ai,K≤109−10^9\leq a_i,K≤10^9109ai,K109

样例数据

输入:

5 2 5
3 7 2 5 1

输出:

2

说明:

选取{2,5}{5,1}均可,共两种方案

解题思路

先看数据量,这题的nnn最大知道10510^5105,所以O(n2)O(n^2)O(n2)是完全没有问题的,但是我这里直接给出最优解。

这题和第四题很类似,总的来说正解依然是线性的,我们可以用哈希表把符合条件的数字(x<=k)(x<=k)x<=k标一下,然后将连贯起来且≤m\leq mm的串的所有可能用求和公式算出来,全部加到ansansans也就是问题的解,输出即可。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e5+10;

int n,m,k,x,a[MAXN];
long long ans=0;

int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		if(x<=k)
			a[i]=1;//标记
	}
	a[n+1]=-1;//注意这里要在最后一个设置一个不可能的数,否则最后一个子串扫不出来!!
//	for(int i=1;i<=n+1;i++){
//		cout<<a[i]<<" ";
//	}
//	cout<<endl;
	int t=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){//这里要多枚举一个,防止最后一个子串扫不到!!
		if(a[i]==1) t++;
		else{
//			cout<<"t:"<<t<<"m:"<<m<<endl;
			if(t>=m){
				ans+=t-m+1;
			}
			t=0;//清零
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

总结

其实也没有什么可以总结的,这场比赛里面看不出自身问题,和上个月比赛难度相差较大。如果这次考到什么递归搜索的题,我估计这次比赛我也只能400左右QWQ,所以搜索递归查找的题还要多刷。

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