上海市计算机学会竞赛平台（iai.sh.cn）2023三月月赛（丙组）解题报告-优快云博客

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文章介绍了几道编程竞赛中的题目，包括循环字母序列的查询、整数分类、音乐播放时间计算以及数对比例关系的查找。解题思路主要涉及简单的数学逻辑、模运算和循环处理，以及利用前缀和优化算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

总的来说这次的丙组偏简单，~~像我这个菜鸟都能在赛场上AK~~，之前的比赛后两题会有递归搜索并且要有一定的数学思维，但这次并没有什么高深的算法或者数学思维。
一到三题不用多说，是模拟题，可能带点技巧。从第四题开始考的是线性代数，简单的数学结论。

不多说了，直接正文。

神奇的字母序列

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个由” $L$ "，" $C$ “，” $R$ “三个字母组成的循环序列：” $LCRLCRLCRLC⋯LCRLCRLCRLC\cdots$ “，这个序列的循环节为“ $L CR$ ”。
现在给定一个数字n，请求出这个序列的第n位是哪个字母。

输入格式

单个整数：表示 n。

输出格式

单个字符：表示字母序列的第n个字母。

数据范围

对于 $50%50\%$ 的数据， $1≤n≤1,000,0001\leq n\leq 1,000,000$

对于 $100%100\%$ 的数据， $1≤n≤1,000,000,0001\leq n\leq 1,000,000,000$

样例数据

输入:

输出:

解题思路

由于原字符串为“ $L CR$ ”，对于循环序列的第 $n$ 个字母，我们直接模3将对应的数字数出来即可。这里用了一个技巧，将最后一个字母移到最前面就不用特判了。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	string s="RLC";
	cin>>n;
	cout<<s[n%3]<<endl;
	return 0;
}

约数的分类

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

古希腊数学家尼科马霍斯（ $N i co ma c h u s$ ）根据整数的真因数之和与该数的大小关系，将整数分为三类：

当这个整数的所有真因数之和大于其本身时，称该数为过剩数（ $A b u n d an t$ ）
当这个整数的所有真因数之和小于其本身时，称该数为不足数（ $De f i c i e n t$ ）
当这个整数的所有真因数之和恰好等于其本身时，称该数为完美数（ $P er f ec t$ ）
所谓 $a$ 的真因数是指 $a$ 的因数且该数小于 $a$ 。给定一个正整数 $n$ ，请判断它是过剩数，不足数还是完美数。

输入格式

单个整数：表示给定的数字。

输出格式

根据输入整数的分类，输出 $A b u n d an t$ 、 $De f i c i e n t$ 或 $P er f ec t$ 。

数据范围

对于 $50%50\%$ 的分数， $1≤n≤1,000,0001\leq n\leq 1,000,000$
对于 $100%100\%$ 的分数， $1≤n≤2,000,000,0001\leq n\leq 2,000,000,000$

样例数据

输入:

输出:

Perfect

说明:

6=1+2+3

输入:

输出:

Deficient

说明:

7是素数只有一个真因子1

输入:

输出:

Abundant

说明:

1+2+3+4+6>12

解题思路

这是一道简单的模拟题，将每个数除自身以外的因子加起来，与原数作比较，按照题意输出，这里考虑到因子之和可能会爆 $in t$ ，注意要开 $longlong\ long$

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long n,cur=0;
	cin>>n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){
			if(i*i==n)
				cur+=i;
			else{
				cur+=i;
				cur+=n/i;
			}
		}
	}
	cur++;
	if(cur<n)
		cout<<"Deficient"<<endl;
	if(cur==n)
		cout<<"Perfect"<<endl;
	if(cur>n)
		cout<<"Abundant"<<endl;
	return 0;
}

循环播放

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

又是一年春暖花开，小爱与家人一起开车出游，在漫长的路途上，他开始播放自己的歌单以舒缓疲劳。

小爱的歌单中有 $n$ 首歌，其中第 $i$ 首歌的时长为 $t_i$ 分钟，这些歌将以循环的方式播放，即播放完第 $n$ 首歌后，会继续播放第 $1$ 首歌。

小爱出发那一刻起，从第 $1$ 首歌开始循环播放整个歌单，请问当 $T$ 分钟后到达目的地时，正在播放第几首歌？

输入格式

第一行，一个正整数 $n$ ，表示歌单中曲目数
第二行， $n$ 个正整数 $t_1,t_2,...,t_n$ 分别表示每首歌的时长
第三行，一个正整数 $T$ ，表示开车时间

输出格式

输出到达目的地时，正在播放的歌曲编号。

数据范围

对于 $30%30\%$ 的数据， $1≤n≤101\leq n \leq 10$ , $1≤ti,T≤1031\leq t_i,T \leq 10^3$
对于 $60%60\%$ 的数据， $1≤n≤1051\leq n \leq 10^5$ , $1≤ti,T≤1081\leq t_i,T \leq 10^8$
对于 $100%100\%$ 的数据， $1≤n≤1051\leq n \leq 10^5$ , $1≤ti,T≤10181\leq t_i,T \leq 10^{18}$

样例数据

输入:

5
3 6 2 4 5
24

输出:

输入:

5
3 6 2 4 5
20

输出:

解题思路

对于这种循环之类的题目，先将总时长用t记录下来，然后就是先将歌曲的总时长模一下，找到最后遍音乐播放的时长再次赋值到t中，~~节省变量AWA~~，然后用前缀和将每首音乐的结束时间记录下来，然后在跑一遍，如果当前音乐的时长在前一首结束时间之后，在后一首结束时间之前（或者刚好结束），那么当前播放的音乐就是后面一首。输出答案就可以啦。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e5+10;

long long n,t,a[MAXN],cnt=0;

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		cnt+=a[i];
	}
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]+=a[i-1];//做个前缀和，将每首歌结束的时间记录下来
	t=t%cnt;
//	cout<<t<<endl;
//	for(int i=0;i<=n;i++)
//		cout<<a[i]<<" ";
	if(t==0)
		cout<<n<<endl;
	else{
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if(t>a[i]&&t<=a[i+1]){
				cout<<i+1<<endl;
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

数对的个数

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

现在给定两个长度为 $n$ 的正整数序列 $,bna_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$
问存在多少对数对 $(i,j),1≤i<j≤n(i,j),1\leq i<j\leq n$ 满足 $aiaj=bjbi\frac{a_{i}}{a_{j}}=\frac{b_{j}}{b_{i}}$

输入格式

输入第一行，一个正整数 $n$ ，表示序列的长度。接下来 $n$ 行，每行两个正整数 $a_{i},b_{i}$

输出格式

单个整数：表示表示满足题意的数对的个数。

数据范围

对于 $50%50\%$ 的数据， $1≤n≤10001\leq n\leq 1000$
对于 $100%100\%$ 的数据， $1≤n≤1,000,000,1≤ai,bi≤10001\leq n\leq 1,000,000,1\leq a_{i},b_{i}\leq1000$

样例数据

输入:

输出:

解题思路

首先看数据量，前 $50%50\%$ 的数据量可以 $O(n^2)$ 枚举。但是 $100%100\%$ 的数据很大，所以正解肯定是线性的，算法复杂度为 $\ n)$ .

题目中所说的需要满足的条件是 $aiaj=bjbi\frac{a_{i}}{a_{j}}=\frac{b_{j}}{b_{i}}$ ，可以转化为 $a_i*b_i=a_j*b_j$ ,也就是说我们需要在 $n$ 个数中找到乘积相等的数的个数 $t$ ，将并且将t做组合数学求和，但是注意组合的个数大于或等于2，所以 $t$ 要减一，用 $an s$ 将所有可能加起来就是问题的解。 $an s$ 变量记得开 $longlong\ long$ 。求和会爆 $in t$

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e6+10;

int n,a,b,c[MAXN];
long long ans=0;

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a>>b;
		c[i]=a*b;
	}
	sort(c+1,c+n+1);//先排个序，方便查找相同的数的个数
//	for(int i=1;i<=n;i++){
//		cout<<c[i]<<" ";
//	}
//	cout<<endl;
	c[n+1]=-1;//注意这里要在最后一个设置一个不可能的数，否则最后一个子串扫不出来！！
	int p=c[1],t=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++){//这里要多枚举一个，防止最后一个子串扫不到！！
		if(p==c[i]) t++;//查找相同的个数
		else{
			if(t>=2){
				int tt=t-1;
//				cout<<(1+tt)*tt/2<<endl;
				ans+=(1+tt)*tt/2;//组合数学求和
			}
			p=c[i];
			t=1;//清“1”
		}
	}
	cout<<ans<<endl; 
	return 0;
}

选取子段

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,...,a_n$ ，请问多少种方案，能够从中选取一个长度恰好为 $m$ 的子段，且子段内所有数字的最大值不超过 $K$ ？

输入格式

输入共两行：
输入第一行，三个正整数 $n, m, K$
输入第二行， $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$

输出格式

输出一个整数，表示方案数。

数据范围

对于 $30%30\%$ 的数据， $\leq m \leq n \leq 10$
对于 $60%60\%$ 的数据， $\leq m \leq n \leq 10^3$
对于 $100%100\%$ 的数据， $\leq m \leq n \leq 10^5$ 且 $−109≤ai,K≤109−10^9\leq a_i,K≤10^9$

样例数据

输入:

5 2 5
3 7 2 5 1

输出:

说明:

选取{2,5}和{5,1}均可，共两种方案

解题思路

先看数据量，这题的 $n$ 最大知道 $10^5$ ,所以 $O(n^2)$ 是完全没有问题的，但是我这里直接给出最优解。

这题和第四题很类似，总的来说正解依然是线性的，我们可以用哈希表把符合条件的数字 $（ x <= k ）$ 标一下，然后将连贯起来且 $≤m\leq m$ 的串的所有可能用求和公式算出来，全部加到 $an s$ 也就是问题的解，输出即可。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e5+10;

int n,m,k,x,a[MAXN];
long long ans=0;

int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		if(x<=k)
			a[i]=1;//标记
	}
	a[n+1]=-1;//注意这里要在最后一个设置一个不可能的数，否则最后一个子串扫不出来！！
//	for(int i=1;i<=n+1;i++){
//		cout<<a[i]<<" ";
//	}
//	cout<<endl;
	int t=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){//这里要多枚举一个，防止最后一个子串扫不到！！
		if(a[i]==1) t++;
		else{
//			cout<<"t:"<<t<<"m:"<<m<<endl;
			if(t>=m){
				ans+=t-m+1;
			}
			t=0;//清零
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}