上海市计算机学会竞赛平台（iai.sh.cn）十月月赛（丙组）解题报告（前4题AK）

编程竞赛：奇偶数判定、积木金字塔、最长平台与积木染色

原创已于 2023-01-15 16:21:04 修改 · 970 阅读

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文章标签：

#算法 #c++ #数据结构

于 2022-11-24 18:15:27 首次发布

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本文介绍了四道编程竞赛题目，涉及奇偶数判定、用积木搭建金字塔的最大高度、找出整数数列中最长平台的长度及数量，以及给定积木数量的不同颜色填充方案。每道题目都给出了解题思路和优化后的代码实现，适合提升编程思维和算法能力。

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T1 奇偶数的判定

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个整数 n，若 n是一个偶数，输出 even，若 n 是一个奇数，输出 odd。

输入格式

单个整数：表示 nn。

输出格式

单个字符串：表示 nn 的奇偶性

数据范围

$-1,000,000\leq n\leq 1,000,000$

样例数据

输入:

输出:

even

输入:

-1

输出:

odd

解题思路

~~直接判断奇偶~~

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	if(n%2==0)
		cout<<"even"<<endl;
	else
		cout<<"odd"<<endl;
	return 0;
}

T2 搭积木

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

小爱同学想要用积木搭起一个金字塔。为了结构稳定，金字塔的每一层要比上一层多一块积木。即搭建规则如下：

金字塔的第 1 层需要放 1 块积木

金字塔的第 2 层需要放 2 块积木

金字塔的第 3 层需要放 3 块积木

…

金字塔的第 i 层需要放 i 块积木

现在小爱拿到了 n 块积木，请问他最高可以搭出多少层的金字塔？

输入格式

输入一个正整数 n，表示小爱手中的积木数量

输出格式

输出一个正整数，表示小爱最高能搭的金字塔层数

数据范围

对于 50% 的数据， $\leq n \leq 1,000$
对于 100% 的数据， $\leq n \leq 1,000,000,000$

样例数据

输入:

输出:

说明:

4层金字塔需要1+2+3+4=10块积木，而5层金字塔需要1+2+3+4+5=15块积木，所以小爱在有12块积木的情况下，最多搭4层金字塔

解题思路

定义一个n存积木数量，然后通过while循环减去1，2，……，i，如果小于n，输出i-1即可

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int k=0,cnt=0;
	while(n>=0){
		k++;
		n-=k;
		cnt++;
	}
	cout<<cnt-1<<endl;
}

T3最长平台

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

给定一个整数数列 $a_1,a_2,\dots,a_na$ ，请找出最长平台，并输出最长平台的数量（数字相等但位置不同的平台算作不同的平台）。

所谓平台，就是指数列中一段连续的、完全相等的数字，单个数字可以成为一个平台。

输入格式

第一行：单个整数 n
第二行：n 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$
输出格式
两个整数：表示最长平台的长度与最长平台的数量

数据范围
对于 50% 的数据， $n\leq 1000n≤1000$
对于 100% 的数据， $n\leq 500,000n≤500,000$
$1\leq a_i\leq 1,000,000$

样例数据

输入:

7
2 2 2 1 3 3 3

输出:

3 2

说明:

最长平台为2 2 2或3 3 3

输入:

5
3 1 4 1 5

输出:

1 5

说明:

每个数字单独成一个平台

解题思路

本题在考试期间想到了小熊的果篮上面去了，后来发现根本没必要，只需要用一个两层循环将原数列扫一下找出最大长度，然后从原序列查找到最大长度的序列用cnt数组记录即可

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n,a[500100],ans=-1,len;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		int len=1;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[i]==a[j])
				len++;
			else
				break;
		}
		ans=max(ans,len);
	}
	int cur=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){//注意要循环到n，否则len为1的扫不出来
		len=1;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[i]==a[j])
				len++;
			else
				break;
		}
		if(ans==len)
			cur++;
	}
	cout<<ans<<" "<<cur<<endl;
}

T4积木染色

内存限制: 256 Mb时间限制: 1000 ms

题目描述

有 n 块积木排成一排，小爱需要给每块积木染色，颜色有 m 种，请问有多少种方法，能使相邻两块积木的颜色均不相同？

输入格式

输入两个正整数n,mn,m

输出格式

输出满足条件的方案数模10^9+7的结果

数据范围

对于30%的数据， $\leq n,m \leq 10$
对于60%的数据， $\leq n,m \leq 10^4$
对于 100% 的数据， $\leq n \leq 10^{15},1 \leq m \leq 10^9$

样例数据

输入:

3 2

输出:

说明:

合法的染色方案有：{1,2,1} {2,1,2}

解题思路

这是一道排列组合的颜色填充问题具体思路如下（图解）：
在这里插入图片描述

所以染色的方案数就是 $\times (m-1)^{(n-1)}$ ,但是本题n的值最大为 $10^{15}$ ,所以这种算法只能得到60分

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MOD=1e9+7;
int main(){
	long long n,m;
	cin>>n>>m;
	long long ans=m;
	for(long long i=1;i<=n-1;i++){
		ans*=(m-1);
		ans%=MOD;
	}
	cout<<ans%MOD<<endl;
	return 0;
}

代码优化

对于多次幂的运算有一种优化方法叫做快速幂，详细可以参照这篇论文快速幂算法。
例如对于指数是偶数的 $3^{10}$ ，过程如下

3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3

//想办法把指数变小

3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)

3^10=(3*3)^5

3^10=9^5

或者我们要求指数式奇数的 $9^{5}$

9^5=（9^4）*（9^1）

9^5=（81^2）*(9^1)

9^5=（6561^1）*(9^1)

9^5=（6561^0）*(9^1)*(6561^1)=1*(9^1)*(6561^1)=(9^1)*(6561^1)=9*6561=59049

以上截选于快速幂算法

快速幂具体代码如下

long long power(long long a,long long b) {
    long long ans = 1;
    while(b>0){
        if(b%2==0){
            b=b/2;
            a=a*a%MOD;
        }
        else {
            b=b-1;
            ans=ans*a%MOD;
            b=b/2;
            a=a*a%MOD;
        }
    }
    return ans;
}

所以加上了快速幂，来看一下我们的代码吧

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long MOD=1e9+7;

long long pow(long long a,long long b) {
    long long ans = 1;
    while(b>0){
        if(b%2==0){
            b=b/2;
            a=a*a%MOD;
        }
        else{
            b=b-1;
            ans=ans*a%MOD;
            b=b/2;
            a=a*a%MOD;
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
	long long n,m;
	cin>>n>>m;
	long long ans=m;
	cout<<m*pow(m-1,n-1)%MOD<<endl;
	return 0;
}