非标准分布随机数生成 - 逆变换ITM与舍选法Rejection

统计学 - 非标准分布随机数生成

最近做了几道有关随机数生成的实验，记录下来写个总结吧，其中核心证明略。
—— 2020.3.24： 20:50

首先明白一些概念，这里随机数是指服从某种分布的随机变量，比如高斯(标准正态)分布 X~U(0,1)。如果已知随机变量的概率密度函数pdf，进而可以由积分得出其累积概率分布函数CDF，CDF只增不减，最大为1。
明白以上之后，我们就需要来验证或者说如何说明概率密度函数与随机变量的关系？你给我了概率密度函数f(x)，如果我知道了随机变量x的取值，那么我就可以知道这个点的概率p，但是你给了这个函数公式说是这个概率就一定是这个概率吗，怎么验证呢？
我们使用采样的方法，我们可以画出概率密度函数曲线图，对于某个概率，在多种可能的采样情况下，如果这个概率下所采集到的样本点相对总体样本点就是这个比例，这个问题不就可以直观说明了。即，某个点的概率越大，那么这个点所采集的样本数也应该越多。
那么，如何得到这些采样点呢，这便是标题所讲的随机数生成。

逆变换ITM

定理：

• 设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数，而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另X=F^-1(U)，则X和Y具有相同的分布。

这个有什么意义呢？如果我们知道了U的分布情况，那么其反函数的分布不就是我们要求的随机数嘛。故根据反函数，随机生成U，解出对应的X，再画出X的分布情况，这个其实就是Y的概率密度函数。
但是，这个方法有个缺陷在于要求F是可逆的。
来看一道练习：

上图中红色曲线便是f(x)的概率分布曲线图，而蓝色曲线是逆变换后样本点的分布图，可以看出趋势是一致的。
代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import math

def EX1_ITM(maxCnt=50000): # 逆变换随机变量，采样点可调
	X_u=[] # 用服从均匀分布的u来生成逆随机数
	for i in range(maxCnt):
		u=np.random.random() # 生成[0.0,1.0)之间的随机数
		if u>=0 and u<0.25: # 逆变换
			X_u.append(np.sqrt(u)/2)
		else:X_u.append(1-np.sqrt(3*(1-u))/2)

	StandarXaxis=np.linspace(0,1,1000)  # 原函数x的概率密度fx，概率密度越大那么逆随机数在此的采样点越多，直方图越高(注意区分概率密度f