多视图变换矩阵与SLAM位姿估计中的地图点投影的几何约束

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定义

projective transform

相机成像模型如下，从世界坐标系中的点到图像中的映射关系由一个矩阵 $M$ 施加在齐次坐标上，即：
$p=K\left[\begin{array}{ll} R \ | \ t \end{array}\right] P=M P$

其中的投影矩阵为：
$\underset{(3 \times 4)}{\mathbf{M}}=\left[\begin{array}{ccc} f & s & x_c^{\prime} \\ 0 & a f & y_c^{\prime} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \mathbf{R}_{3 \times 3} & \mathbf{0}_{3 \times 1} \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{3 \times 3} & \mathbf{T}_{3 \times 1} \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & 1 \end{array}\right]$
依次是 intrinsics projection rotation translation，共有5+3+3= 11个自由度。

求解它需要求解 $M$ 的11个元素，这个一般用于相机外参和内参对准。
${\left[\begin{array}{c} w^* u \\ w^* v \\ w \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{array}\right]}$