线性代数学习笔记4-5：求解线性方程组（小结）

方程组有解的条件

以下讨论中，$\mathbf{A}$为$m\times n$矩阵，秩为$r$

回顾：当$\mathbf{A}$为方阵时，可以从可逆性/行列式直接判断

矩阵$\mathbf{A}$可逆，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$必有唯一零解；$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$必有解且是唯一解：$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$；
矩阵$\mathbf{A}$不可逆 / $det(\mathbf{A})=0$，矩阵对应降维的线性变换，方程可能无解（当$\mathbf{b}$不处于 降维后的空间 即列空间 中）

回顾：从消元角度判断

1. 必然有解的情况：行满秩$r=m$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$必有解（消元后，每行必有主元，不会出现"0=1"的情况）
2. 可能有解/无解的情况：行不满秩（消元后，一些行的主元不可避免为0，可能出现"0=1"的情况）
   $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$是否有解，取决于列（系数列$\mathbf{b}$）的情况：①消元后全零行是否满足“0=0”；或者②$\mathbf{b}$是否在$\mathbf{A}$的列空间内

上面「从可逆性/行列式判断」要求矩阵为方阵，而「从消元角度判断」判断的结果模糊，需要具体看$\mathbf{b}$的情况
更一般的，有如下更通用和方便的判断方法：

1. 何时有解？
   对于$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，必有解（零解）；
   对于$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：$Rank(\mathbf{A})=增广矩阵的秩Rank(\mathbf{A}|\mathbf{b})$，有解；否则无解。
   （理解：这就是说「$\mathbf{b}$是$\mathbf{A}$列向量的线性组合/$\mathbf{b}$在$\mathbf{A}$的列空间内」，也即「消元后不会出现“0=1”的情况」）
2. 有解时，解的个数情况？
   对于$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，零空间维数$n-r$，从而决定了唯一解/无穷解；
   对于$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：解的个数情况和$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$相同（因为$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解=一个特解+零空间）
   （从几何意义上，$n>r$相当于矩阵对应降维的变换，有多个向量被变换到同一个向量上，从而有无穷个解）

接下来，具体分情况讨论有解的情况下，解有多少个的问题

求解齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$

零空间/解空间：线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$全体解向量的集合
（有唯一零解时，解空间就是一个点；
解不唯一/有非零解时，系数矩阵对应降维变换，解空间为一条线/一个平面）
基础解系：解空间中的一组基（其中的基向量可以张成整个解空间）

• 齐次线性方程组，其解向量的线性组合，仍是它的解
  （除了唯一解的情况，就是无穷解的情况，即系数矩阵对应一个降维变换，此时所有解必然都在同一个解空间中）
• 对于n元齐次线性方程组（系数矩阵$\mathbf{A}$有n列）：
  ①若$Rank(\mathbf{A})=n$，有唯一零解
  ②若$Rank(\mathbf{A})<n$，则矩阵对应降维变换，则方程组解空间维度$n-r>0$（无穷非零解），且解空间的维度（基础解系中所含的基向量的个数）为$n-Rank(\mathbf{A})$，且方程的通解（无穷个可能的解）可以由基础解系线性表出

求解非齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$

• 核心在于：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个解 + $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的一个解 = $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个解
  其暗含的意思是：
  ①若$Rank(\mathbf{A})=n$，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有唯一零解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$也只有唯一解
  ②若$Rank(\mathbf{A})<n$，则矩阵对应降维变换，那么$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有解空间（维度大于零，无穷个非零解），进而$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的（若有解）也有无穷个解

矩阵可逆$⟺$行列式不为0$⟺$非奇异矩阵$⟺$对应方程组有唯一解（克拉默法则）$⟺$n个特征值不全为0

求解方程组具体流程

线性代数中的通用解法——高斯消元法：

• 对于齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，主要就是将系数矩阵化为最简阶梯形，然后写出对应的化简后的方程（其实也就是高斯消元法了），任取$n-Rank(\mathbf{A})$个自由未知量作为基础解系，即得通解；
• 对于非齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，只要再求一个特解，加上$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的基础解系即得通解
  详见：线性方程组的求解及应用和解线性方程组

高斯消元法，表面上就是几个方程相加减（这样不会改变方程内在的约束，即不会改变解）
本质上，这就是行初等变换，而这样做既然不改变解（不会通过降维等变换来增加解的个数），那么也就是说初等行变换不改变列秩/行秩/秩

克拉默法则：系数矩阵为方阵时，求解方程的通法

注意使用前提：适用于变量和方程数目相等的线性方程组（系数矩阵为方阵）
克拉默法则在使用时并不实用，但提供了另一种思想，本质是通过逆矩阵来求解：$\vec{x}={\mathbf{A}}^{-1}\vec{v}$

对于线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{v}$

• 当$det(\mathbf{A})\ne 0$时，方程组有唯一解$(\frac{D_1}{D},\frac{D_2}{D},...,\frac{D_n}{D})$，其中$D=det(\mathbf{A}),D_j=det(\mathbf{A}中第j列换成常数列\mathbf{v}，其他元素不变)$
  意义：$\mathbf{A}$是非奇异矩阵/可逆矩阵，对应同维度下的线性变换，因此给出变换后的向量，则变换前的向量唯一确定
  特别的，对齐次线性方程组（$\mathbf{v}$为零向量），这个唯一解就是零解
• 当$det(\mathbf{A})=0$时，方程组有无穷解
  意义：$\mathbf{A}$的变换导致维度压缩，则解空间就不止一个向量了，可能是一条线/一个平面
  特别的，对齐次线性方程组，说明有非零解（不只有唯一的那个零解）