算法导论16.1-1

算法导论16.1-1

题目要求为活动选择设计一个动态规划算法。

1. 问题描述
假定有一个n个活动的集合$S=\{a_1,a_2,...,a_n\}$，这些活动使用同一个资源，而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。如果任务$a_i$ 被选中，那么发生在$[s_i,f_i)$期间。如果两个活动$a_i$和$a_j$不重叠，即$s_i\geq f_j$或$s_j\geq f_i$，那么它们是兼容的。我们希望求解问题的一个最大兼容活动集（也就是元素最多的）。
2. 活动选择问题的最优子结构
设
$S_{ij}$：在$a_i$结束后开始，且在$a_j$开始前结束的活动集合。也就是说$S_{ij}$是不包含$a_i$和$a_j$的。用数学的方法表示就是$s[p]\geq f[i]$且$f[p]\leq s[j]$，其中$p$为$S_{ij}$中元素的下标。
$c[i,j]$:集合$S_{ij}$的最优解的大小。
假定$A_{ij}$为$S_{ij}$的最优解，且$a_p$为其中的活动，那么最优解$A_{ij}$必定包含子问题$S_{ip}$和$S_{pj}$的最优解，证明方法为剪切-粘贴法，此处从略。
于是乎，$c[i,j]$可以得到如下递归式

$$c[i,j]=c[i,p]+c[p,j]+1$$
当不知道$S_{ij}$的最优解包含的活动时，就需要比较$S_{ij}$中所有的活动，因此
$$\begin{equation} c[i,j]=\left\{ \begin{aligned} 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad若 S_{ij}=\varnothing \\ \max \limits_{a_p\in S_{ij}}\{ c[i,p]+c[p,j]+1\}\quad若 S_{ij} \neq\varnothing \end{aligned} \right. \end{equation}$$
3. 计算最大兼容活动集的模
为了创建最优解，我们要跟踪$p$。算法只接受$s$和$f$，假设序列已经按$f$递增排好序，且$a_0$和$a_{n+1}$已经在其中。我们用一个表$c[0..n,1..n+1]$来保存$c[i,j]$的值。第一维下标下届为0，第二维下标上届为n+1是因为$S_{ij}$是不包含元素$a_i$和$a_j$的。
另外，我们还需要一个表$k$来记录每次计算得到的$a_p$的下标，以便于解的构造。伪代码的设计如下：

DYNAMIC-ACTIVITY-SELECTOR(s,f)
n=lenght(s)
s[n+1]=INT
f[n+1]=INT
for i=0 to n
    c[i,i+1]=0
    k[i,i+1]=-1
for l=1 to n      //Sij的元素个数
    for i=0 to n-l+1
        j=i+l+1
        c[i,j]=0
        k[i,j]=-1
        if f[i]<s[j]
            for p=i+1 to j-1
                if s[p]>=f[i] and f[p]<=s[j]
                    Kval=c[i,p]+c[p,j]+1
                if Kval>c[i,j]
                    c[i,j]=Kval
                    k[i,j]=p
return c and k

构造解的伪代码：

PRINT-SELECTOR(i,j)
if k[i,j]=-1
    return
print a k[i,j]
PRINT-SELECTOR(i,k[i,j])
PRINT-SELECTOR(k[i,j],j)

使用C++实现的程序：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#define NUM 50
#define INT 65536
using namespace std;
int k[NUM][NUM];
int c[NUM][NUM];
int s[NUM];
int f[NUM];
void DYNAMIC_ACTIVITY_SELECTOR(int n)  //n is s's length
{
    s[n + 1] = INT;
    f[n + 1] = INT;
    for (int i = 0; i <= n; i++){
        c[i][i + 1] = 0;
        k[i][i + 1] = -1;
    }

    for (int l = 1; l <= n; l++){
        for (int i = 0; i <= n - l + 1; i++){
            int j = i + l + 1;
            c[i][j] = 0;
            k[i][j] = -1;
            if (f[i] < s[j]){   //is there room between i and j
                for (int p = i + 1; p <= j - 1; p++){
                    if (s[p] >= f[i] && f[p] <= s[j]){
                        int Kval = c[i][p] + c[p][j] + 1;
                        if (Kval>c[i][j]){
                            c[i][j] = Kval;
                            k[i][j] = p;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

void PRINT_SELECTOR(int i, int j)
{
    if (k[i][j] == -1)
        return;
    cout << "a" << k[i][j]<<" ";
    PRINT_SELECTOR(i, k[i][j]);
    PRINT_SELECTOR(k[i][j], j);
}
void main()
{
    for (int i = 1; i <= 11; i++)
        cin >> s[i];
    for (int i = 1; i <= 11; i++)
        cin >> f[i];
    DYNAMIC_ACTIVITY_SELECTOR(11);
    PRINT_SELECTOR(0, 12);
    cout << endl;
}

4.运算结果展示