最长公共子串与最长公共子序列

1. 最长公共子串

要求子串连续，不同于最长公共子序列

def LCS(s1, s2):
    len1, len2 = len(s1), len(s2)
    # 匹配矩阵，用来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况（1：匹配；0：不匹配）
    c = [[0 for j in range(len2+1)] for i in range(len1+1)]
    n = 0  # 最长匹配长度
    p = 0  # 匹配的结束位置的下一位
    for i in range(1, len1+1):
        for j in range(1, len2+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1]+1
            if c[i][j] > n:
                n = c[i][j]
                p = i
    print("最长子串:  ", s1[p-n: p])
    print("最长子串长度:  ", n)

测试

s1 = 'hello boy, good night'
s2 = 'hi boy, good good night'
LCS(s1, s2)
# 最长子串:    boy, good 
# 最长子串长度:   11

2. 最长公共子序列

def LCS_squence(s1, s2):
    len1, len2 = len(s1), len(s2)
    # 匹配矩阵，用来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况（1：匹配；0：不匹配）
    c = [[0 for j in range(len2+1)] for i in range(len1+1)]
    for i in range(1, len1+1):
        for j in range(1, len2+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1]+1
            else:
                c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])
    print("最长公共子序列长度:  ", c[-1][-1])

    i, j = len1, len2
    result = []
    while c[i][j]:
        if c[i][j] == c[i-1][j]:
            i -= 1
        elif c[i][j] == c[i][j-1]:
            j -= 1
        elif c[i][j] > c[i-1][j-1]:
            i -= 1
            j -= 1
            result.append(s1[i])
    print("最长公共子序列长度:  ", ''.join(result[::-1]))

测试

s1 = 'hello boy, good night'
s2 = 'hi boy, good good night'
LCS_squence(s1, s2)
# 最长公共子序列长度:   17
# 最长公共子序列长度:   h boy, good night

3. DP问题思路分析

对于X=(A,B,C,B,D)，Y=(B,D,C,A,B)两者最长公共子序列构成路径表。

 可用动态规划DP求解的问题一般有两个特征：

1. 最优子结构；

2. 重叠子问题。

3.1 最优子结构

        设X=(x1,x2,x3,...,xm)，Y=(y1,y2,y3,...,yn)，求X和Y的最长公共子序列LCS(X,Y)，就是一个最优化问题，首先考虑X的最后一个元素xm与Y的最后一个元素yn。

LCS(X, Y) = LCS(Xm-1, Yn-1)       if xm=yn

LCS(X, Y) =max(LCS(Xm-1, Yn), LCS(Xm, Yn-1))       if xm != yn

把原问题转化成了三个规模更小的子问题。

3.2 重叠子问题

        在问题的继续分解中，有些问题是重叠的，若用递归求解，将有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级，而使用DP，可以用一张表记录子问题的解。

LCS的递推式如下：

c[i][j] = 0                        if i=0 or j=0

c[i][j] = c[i-1][j-1]+1       if i,j>0, xi=yj

c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j])     if i,j>0, xi!=yj

c[i][j] = len(lCS(Xi, Yj)) 表示两个序列X和Y的最长公共子序列长度。