动态规划---求最长公共子序列和最长公共子串（C语言）

参考：https://blog.youkuaiyun.com/someone_and_anyone/article/details/81044153

一、求最长公共子序列

1、问题描述：

从一个给定的串中删去（不一定连续地删去）0个或0个以上的字符，剩下地字符按原来顺序组成的串。例如：“ ”，“a”，“xb”，“aaa”，“bbb”，“xabb”，“xaaabbb”都是串“xaaabbb”的子序列。（例子中的串不包含引号。）

要求：给定两个序列 X = { x 1 , x 2 , … , x m } X=\{x_1,x_2,…,x_m\} X={x1​,x2​,…,xm​} 和 Y = { y 1 , y 2 , … , y n } Y=\{y_1,y_2,…,y_n\} Y={y1​,y2​,…,yn​}，找出X和Y的最长公共子序列。

输入：输入数据有多组，每组有两行 ，每行为一个长度不超过500的字符串（输入全是大写英文字母（A,Z）），表示序列X和Y。

输出：每组输出一行，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出0。

样例输入：

13456778
357486782

样例输出：

5

最长公共子串是35678

二、解决方法：

1、暴力解法：
假设 $m<n$， 对于母串$X$，我们可以暴力找出$2^m$个子序列，然后依次在母串$Y$中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级$O(n\ast 2^m)$。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

2、递归求解：
当$x_m=y_n$时，找出$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的最长公共子序列，然后在其尾部加上$x_m(=y_n)$即可得X和Y的一个最长公共子序列。当$x_m\ne y_n$时，必须解两个子问题，即找出$X_{m-1}$和$Y$的一个最长公共子序列及$X$和$Y_{n-1}$的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为$O(m+n)$。

3、动态规划：
（1）创建DP数组C[ ] [ ]

（2）把首行和首列置零

（3）按照以下规则把表填满


C[8][9]=5即为所要求的最长公共子序列的长度

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int max(int a,int b)
{
   return a>b?a:b;
}
int main()
{
    int i,j,k;
    char a[600];
    char b[600];
    int f[600][600];
    while(scanf("%s %s",a,b)!=EOF)
    {
        int n=strlen(a);
        int m=strlen(b);
        for(i=0;i<=n;i++)
        {
            f[i][0]=0;
        }
        for(i=0;i<=m;i++)
        {
            f[0][i]=0;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=m;j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                {
                    f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
                }
                else
                {
                    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",f[n][m]);
    }
    return 0;
}

S1和S2的最LCS并不是只有1个，本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS，只是介绍如何通过上表，输出其中一个LCS。
我们根据递归公式构建了上表，我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。
c[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。
以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）

第一种结果为：

这就是倒推回去的路径，棕色方格为相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，这是其中一个结果。

如果如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，选择另一个方向，会得到另一个结果。

即LCS ={3,5,7,7,8}。

二、DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。