牛客网暑期ACM多校训练营（第九场）A.Circulant Matrix(FWT)

本文介绍了一种利用快速傅立叶变换（FFT）处理循环矩阵的方法，通过具体实例展示了如何进行转换，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A.Circulant Matrix

传送门

我们首先观察一下这几个等式

之后对于 $b_i$ 易得这样一则等式

$b_i=\sum_{j=0}^{n-1} a_{{i}\oplus{j}}*x_j$

那么稍作转化我们便可以得到下式

$b_k=\sum_{{i}\oplus{j}=k}a_i*b_j$

这个东西不就是 $FWT$ 吗，后面就是直接上板子.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
const int inv2=5e8+4;
int powmod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(1ll*ans*a)%MOD;
        a=(1ll*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void FWT_xor(int *a,int n,int opt)
{
    while((n&-n)!=n) n+=(n&-n);
    for(int i=1; i<n; i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0; j<n; j+=p)
            for(int k=0; k<i; ++k)
            {
                ll X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%MOD;
                a[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
                if(opt==-1) a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%MOD,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%MOD;
            }
}
int a[1<<20];
int b[1<<20];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    FWT_xor(a,n,1),FWT_xor(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*b[i]*powmod(a[i],MOD-2)%MOD;
    FWT_xor(a,n,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",(a[i])%MOD);
}