2018牛客网暑期ACM多校训练营（第九场） - A.Circulant Matrix

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdau20163942/article/details/83380537

本文探讨了在特定模数下求解矩阵方程Ax=b的问题，通过观察等式的特性，发现FWT（快速沃尔什-哈达玛变换）可用于高效求解。文章详细介绍了如何利用FWT进行矩阵的位运算卷积，以及如何通过逆FWT将解还原，最终给出了完整的算法实现。

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题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/147/A

题解来自（侵删）：

题意：有p = 1000000007。考虑等式：A x = b (mod p)，这里A是一个 n x n 的矩阵，x 和 b 都是 n x 1 行向量。

给你一个a数组和b数组，构造出A[i][j]矩阵（A[i][j] = a[i xor j]），解x数组。

n等于4的时候有：
A[0][0]*x[0] + A[0][1]*x[1] + A[0][2]*x[2] + A[0][3]*x[3] = b[0] (mod p)
A[1][0]*x[0] + A[1][1]*x[1] + A[1][2]*x[2] + A[1][3]*x[3] = b[1] (mod p)
A[2][0]*x[0] + A[2][1]*x[1] + A[2][2]*x[2] + A[2][3]*x[3] = b[2] (mod p)
A[3][0]*x[0] + A[3][1]*x[1] + A[3][2]*x[2] + A[3][3]*x[3] = b[3] (mod p)

解析：

把上面随便拿出几行写出来，会发现是有：

a0*x0+a1*x1+a2*x2+a3*x3=b0

a1*x0+a0*x1+a3*x2+a2*x3=b1

a2*x0+a3*x1+a0*x2+a1*x3=b2

a3*x0+a2*x1+a1*x2+a0*x3=b3

然后会发现 a 数组下标 i 与相应位置上的 x 数组下标 j 的异或值就是这一行的 b 数组下标k。

FWT可以对于两个数组a和b，求出他们的位运算卷积c，使得：

本题中有：

然后观察原本的FWT的过程：对a，x数组做FWT，b[i]=a[i]*x[i]，然后对b数组做UFWT。

本题中我们可以：先对a，b数组做FWT，然后x[i]=b[i]/a[i]，即x[i]=b[i]*(a[i]的除法逆元)，最后对x数组做UFWT，就把x数组还原了。

代码(261ms)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=262144+5;
const int MOD =1e9+7;
const int inv2=5e8+4;

int n,N,a[MAXN],b[MAXN],x[MAXN];

int pow_mod(int n,int k)
{
    int res=1;
    n=n%MOD;
    while(k>0)
    {
        if(k&1)
            res=(long long)res*n%MOD;
        n=(long long)n*n%MOD;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
void FWT_xor(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%MOD;a[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
                if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%MOD,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%MOD;
            }
}
int inline read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
    n=read();
    N=n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=0;i<n;i++)
        b[i]=read();
    FWT_xor(a,1);
    FWT_xor(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        x[i]=(long long)pow_mod(a[i],MOD-2)*b[i]%MOD;
    FWT_xor(x,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        write(x[i]);
        putchar(10);
    }
    return 0;
}