贪心算法：从算法设计到工程实践的理性选择

贪心算法

引言

在真实工程系统中，我们经常面临这样的问题：

数据规模巨大、系统状态动态变化、决策必须在毫秒级完成。

在这种条件下，很多“理论最优算法”并不可行。

贪心算法，正是工程系统在现实约束下做出的理性选择。

基础概念

贪心算法是一类在求解问题过程中，在每一步都选择当前看起来最优的方案，并期望通过一系列局部最优选择最终得到全局最优解的算法策略。

其核心特征可以概括为一句话：不回头、不试错，只做当前最优选择。

贪心算法不是一种具体算法，而是一种算法设计思想。

基本思想

贪心算法遵循以下基本原则：

局部最优选择

每一步都做出当前状态下的最优决策

不可回溯

一旦选择，不再撤销或修改

期望累积为全局最优

局部最优决策的累积能够导向全局最优解

与动态规划不同，贪心算法不会保存所有中间状态，也不比较不同路径的结果。

贪心选择性质在工程上的含义是：当前这一步的最优选择，不会破坏未来系统状态的可行性。

必要条件

一个问题适合使用贪心算法，通常必须满足以下两个性质：

贪心选择性质（Greedy Choice Property）

每一步的局部最优选择，必然存在于某个全局最优解中。

换言之，当前最优的选择不会阻碍最终得到最优解。

最优子结构（Optimal Substructure）

一个问题的最优解，可以由其子问题的最优解构成。

这是贪心算法与动态规划的共同前提。

误区警告

0/1 背包 ≠ 分数背包

问题背景

背包问题的基本描述：

• 给定若干物品
• 每个物品有重量和价值
• 背包容量有限

目标：最大化总价值

看似合理的贪心策略

按单位价值（价值/重量）从高到低选择物品。这个策略在“分数背包”中是完全正确的。

为什么在 0/1 背包中失败？

关键区别在于：

分数背包：物品可以拆分

0/1 背包：物品只能“选”或“不选”

反例说明

假设：

物品	重量	价值	单位价值
A	10	60	6
B	20	100	5
C	30	120	4

背包容量：50

贪心选择：

选 A（10）

选 B（20）

剩余容量 20，无法放 C

→ 总价值 = 160

最优解：

选 B + C

→ 总价值 = 220

失败原因分析

单位价值的局部最优选择，会阻断后续更优组合的可能性，不满足贪心选择性质。

正确做法

使用动态规划

状态：容量 × 物品数量

时间复杂度：O(nW)

工程启示

一旦选择具有“不可拆分性”，贪心算法往往不再适用。

最短路径（有负权）≠ Dijkstra

问题背景

最短路径问题广泛存在于：

• 网络路由
• 图计算
• 调度系统

看似合理的贪心策略

每次选择当前距离源点最近的节点，并将其路径固定。

这是 Dijkstra 算法 的核心思想。

为什么在有负权图中失败？

Dijkstra 的前提是：

一旦某个节点被选中，其当前最短路径不会再被更新。