【理论推导】准pr控制器的带宽计算推导过程

想成为樱木花道的宫城良田

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分类专栏： #理论推导文章标签：数学建模

于 2025-03-31 10:50:36 首次发布

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工作后，太久没接触高数了，很多知识就忘记了，于是在重拾数学来推导论文公式后，将其记录下来，以免碰到同样的问题，还得重新再看一次知识点。

计算带宽的目的

为了满足并网逆变器规定的电网频率波动限定指标（假设电网频率波动限定为 $\pm 1.6Hz$ ）

准PR控制器传递函数：

$G_{PR}(s) = K_p + \frac{2K_rw_cs}{s^2+2w_cs+w_0^2}$

带宽定义

令幅值降到峰值的 $1/\sqrt2$ ，再分别求出角频率的上下边界，作差，得出带宽。因此令

$\left | G_{PR}(jw)) \right |=\frac{K_r}{\sqrt{2}}$

1.求幅值表达式

令 $s=jw$ ，得

$G_{PR}(jw)=\frac{2K_rw_c(jw)}{(jw)^{2}+2w_c(jw)+w_{0}^{2}}=\frac{2K_rw_cjw}{-w^{2}+2jw_cw+w_{0}^{2}}$

要求出 $G_{PR}(jw)$ 的幅值，首先得到分子和分母的模长，分子模长为

$\left | 2K_rw_cjw \right |=2K_rw_cw$

分母模长为

$\sqrt{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+(2w_cw)^{2}}$

整理得到

$\left | G_{PR}(jw) \right |=\frac{2K_rw_cw}{\sqrt{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+(2w_cw)^{2}}}$

从公式可以看出，当 $w$ 与 $w_0$ 接近时，分母中的虚部接近0，从而幅值在 $w=w_0$ 取得共振峰值 $\approx K_r$ 。这就是为啥PR控制器在 $w_0$ 处有“无限增益”（在实际中通常会在分母引入小阻尼来限制增益峰值）

2.代入带宽条件

$\left | G_{PR}(jw) \right |=\frac{K_r}{\sqrt{2}}$

代入幅值表达式得：

$\frac{2K_rw_cw}{\sqrt{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+(2w_cw)^{2}}}=\frac{K_r}{\sqrt{2}}$

消去 $K_r$ ，交叉相乘后，整理得：

$(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}=4w_{c}^{2}w^{2}$

3.求解过程

上式写为

$\left | w_{0}^{2}-w^{2} \right |=2w_cw$

分为两种情况讨论：

①： $w_{0}^{2}-w^{2}=2w_cw$

解方程：

$w_{0}^{2}+2w_cw-w^{2}=0$

用求根公式得

$w=\frac{-2w_c\pm \sqrt{4w_{c}^{2}+4w_{0}^{2}}}{2}=-w_c\pm \sqrt{w_{c}^{2}+w_{0}^{2}}$

选正根(因为负根算出为负数，不符合物理意义)

$w_L=-w_c+ \sqrt{w_{c}^{2}+w_{0}^{2}}$

②： $w_{0}^{2}-w^{2}=-2w_cw$

解方程：

$w_{0}^{2}-2w_cw-w^{2}=0$

求根得

$w=\frac{2w_c\pm \sqrt{4w_{c}^{2}+4w_{0}^{2}}}{2}=w_c\pm \sqrt{w_{c}^{2}+w_{0}^{2}}$

取最大的根

$w_H=w_c+ \sqrt{w_{c}^{2}+w_{0}^{2}}$

4.带宽计算

$\bigtriangleup w=w_H-w_L=2w_c$

则带宽频率为 $\frac{2w_c}{2\pi }$ Hz，根据电网频率波动限定条件，可以得到

$\frac{w_c}{\pi }=3.2Hz$

即得到截止角频率 $w_c=10rad/s$ ，确定了准PR控制器的截止角频率参数

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