欧拉函数性质和模版

  概念梳理：  

     欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

     欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

     欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

    推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

    设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

   算法实现与分析：

   求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要对n进行素因子分解。

直接求法：

#include <iostream>

using namespace std;
int f(int x)
{
    int ans=x;
    if(x==1) return 1;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)  ans=ans/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return  ans;
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << f(n)<< endl;
    }
}

打表求法：

//筛选法求欧拉函数，时间复杂度O(nloglogn)
#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 100010;
int a[MAXN];

void init()
{
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
    {
        a[i]=i;
    }
    a[1]=0;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
    {
        if(a[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
            {
                a[j]=a[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    a[1]=1;
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << a[n] << endl;
    }
}