【面试题】全排列系列问题

题目一

解法一：回溯法（dfs实现）

这个问题可以看作有 n 个排列成一行的空格，我们需要从左往右依此填入题目给定的 n 个数，每个数只能使用一次。那么很直接的可以想到一种穷举的算法，即从左往右每一个位置都依此尝试填入一个数，看能不能填完这 n 个空格，在程序中我们可以用「回溯法」来模拟这个过程。

定义递归函数 backtrack（index，path）表示当前从左往右填到第 index个位置上的排列结果为 path。整个递归函数分为两种情况：

• 若 index == n，说明我们已经填完了 n个位置（下标从 0开始，故 index = n时已经走到了数组末尾之外），即找到了一个可行解，将当前的排列结果 path 加入到 res中，递归结束。
• 如果 index < n，这时要考虑第 index个位置要填哪个数，根据题意我们肯定不能填已经填过的数字，所以很容易想到的一个解决思路是借助一个标记数组 visited[] 来标记已经填过的数字，这样一来，当我们在填第 index个位置时，遍历题目给定的 n个数，如果这个数字还没有被标记过，我们就尝试填入，并标记为已访问，然后继续尝试填下一个位置，即调用递归函数 backtrack（index+1，path）。当递归函数执行完回溯的时候，我们要撤销这个位置填的数及其标记，因为只有撤销了当前的选择，下一次搜索另一种排列结果时才有数可以选，这也正是回溯法的思想。

优化空间复杂度：标记数组需要申请额外的内存空间，那么有没有方法可以去掉这个标记数组？

我们可以借鉴排序算法中常常采用的原地置换方法，将含有 n个元素的数组 nums[]划分成两部分，左边是已经填过的数字，右边是待填的数字，我们在递归搜索的过程中只要动态维护这个数组即可。

具体来说，假设当前我们已经填到第 index个位置了，那么 nums[]中下标 0 ~ index-1 的位置上的元素均是已经填过的数，下标 index ~ n-1表示代填的数的集合，那么此时我们肯定是要从后半部分即 nums[index , n-1]中去寻找一个元素填入到当前 index的位置上，假设待填入的数字所在的下标为 i，那么填完之后我们将第 i个数和第 index个数交换，这样一来就能使得下一次在填第 index+1个位置时，nums[0 , index]均是已经填过的数字了，而nums[index+1 , n-1]为待填的数。然后，回溯的时候我们只要将这两个数交换回来即可撤销当前的选择。

不过这个方法有个局限性，那就是这样生成的全排列并不是按字典序存储在答案数组中的，如果题目要求按字典序输出，那么请还是用标记数组或者其他方法。

Python

class Solution(object):
    def permute(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        n = len(nums)
        if n == 0: return []
        self.res = []
        self.backtrack(nums, index=0, path=[])
        return self.res

    def backtrack(self, nums, index, path):
        # 满足结束条件，将当前搜索出的排列结果添加到 res中
        # 由于 Python中list是可变对象，在递归中是全程只使用一份内存空间的，在dfs结束后，path就会退回到递归树的根结点，也即恢复一开始传入的空 []
        # 因此，当满足条件时，应该添加的是当前 path的一份拷贝，直接 res.append(path)添加的只是 path的引用，会受到后续 path中元素变换的影响
        if index == len(nums):
            self.res.append(path[:]) # 使用切片[:]操作相当于浅拷贝，也可以显示调用copy.copy()函数
            return
        for i in range(index, len(nums)):
            # 做选择
            path.append(nums[i])
            nums[index], nums[i] = nums[i], nums[index]
            # 递归搜索