Sgu 130 Catalan数

最新推荐文章于 2018-10-10 11:12:00 发布

MrBird_to_fly

最新推荐文章于 2018-10-10 11:12:00 发布

阅读量324

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MrBird_to_fly/article/details/52626202

数学专栏收录该内容

23 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个经典的组合数学问题：如何通过连线将圆周上的2k个点分成最少数量的区域，并求解这种划分方式的数量。文章给出了最优解的数学证明，并介绍了Catalan数的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：一个圆上给2k个点，连k条线，每个点连一次，问最少把圆分成几块，以及这样的分法种数。
做法：显然每条线不相交是最优方案，最少分成k+1块。然后考虑对标号为1的点，可以连2,4…2k，则

f (k + 1) = \sum i = 0 k f (i) * f (k - i)

$f(k+1)=\sum_{i=0}^k f(i)*f(k-i)$
这个是catalan数的递推公式。而catalan数的通项是

1n+1(2nn) $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ ，于是就做完了。
然后catalan数的应用大概有进出栈序列数(以及大量变形)和二叉树个数计数，还有满足以上递推公式的计数问题。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll C(int m, int n)
{
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans*=m-n+i;
        ans/=i;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%lld %d\n",C(2*n, n)/(n+1) , n+1);
}