Catalan数

Catalan数

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Catalan numbers
$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ……$

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记$Catalan$数列为{$C_n$}

$C_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$ ………………………………………………①

$C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i*C_{n-i}$ $(C_0=1)$………②

$C_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$ $(C_0=1)$………………③

$C_{n+1}=\frac{4n+2}{n+2}C_n$ $(C_0=1)$…………………④

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导入
在一个$4*4$的方格图中，要从左下角走到右上角，每次只能向上走一步或向右走一步，且必须沿实线边走，求走法数。

相信你已经很熟练地写出了DP方程：

f[0][0]=1;
f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]; //i≠j
f[i][j]=f[i-1][j];           //i=j

没错，就是这样，$f[4][4]=14$，这正是当$n=4$时的$Catalan$数

至此，我们已经得到了一种递推计算$Catalan$数的方法。
然而通项公式①式是怎样得到的呢，下面给出证明。
把$n*n$的方格图放入坐标系中，$（0，0）$为原点，对角线为$y=x$。
如果可以走虚线边，那么显然方案数为$C_{2n}^{n}$（在$2*n$次操作中选择$n$次为向上/右走）
为方便表述，下面将可走虚线边的走法称为非法走法。
显然非法走法必定会与$y=x+1$有交点，现将非法走法第一次相交之后走的路径关于$y=x+1$做对称，那么终点变为$（n-1，n+1）$，而到这个终点的方案数为$C_{2n}^{n+1}$（即非法走法方案数）。
配图如下

那么合法走法数为$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$
由此我们证明了①式和③式

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出栈序列
题意：初始栈空，$n$个数按序入栈，每次可以选择让未入栈的数入栈，也可以让栈顶数出栈（栈非空）。求出栈序列种数（$n$个数必须全部出栈）。

法一：考虑第一个出栈的数的编号为$k$，那么整个出栈序列可以按原编号与$k$的大小关系分为两个序列，这两个序列可以任意交插，方案数为$C_k*C_{n-1-k}$，易得总方案数即为②式
法二：利用网格图，从原点出发，将每个进栈操作记为向右一格，弹栈操作记为向上一格，问题转化为“导入”中的问题，即可解决。

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SGU 130
题意：圆上有$2*k$个顶点，求选择$k$个点对相连两两不相交的方案数和圆被切成的区域数（每个点仅属于一个点对）。$1 <= k <= 30$

分析：显然区域数为$k+1$。考虑顶点$1$依次与顶点$4、6、8…$相连的情况（保证了两侧都是偶数个顶点，可以构成方案），即得到②式，这个分析方法与“出栈序列”的法一很类似。这说明这也是个$Catalan$数列，当然计算的时候可以直接使用④式（白书上有证明），快捷高效。

var
i,n:longint;
c:array[0..50] of int64;
begin
  readln(n);
  c[0]:=1;
  for i:=0 to n-1 do
  c[i+1]:=c[i]*2*(2*i+1) div (i+2);
  writeln(c[n],' ',n+1);
end.

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HDU 4828
题意：给定一个$2∗N$的矩阵，把$1$到$2N$这些数依次放进去，求使每行每列都递增的方案数（对$10^9+7$取模）。

分析：经典面试题详细题解

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学习小结
$Catalan$数的应用远不止出栈序列、网格图路径数这些。但之所以用这两个例子来介绍$Catalan$数，是因为其他的模型往往可以很好地转化为这些模型或是套用其分析方法。