集合

0x00集合的概念

由零个或多个确定的对象所构成的整体称为集合。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素，简称元。常用大写字母A,B,C...表示集合，小写字母a,b,c...表示元素。集合可以表示为：

列举法：{e0,e1,e2,...,en}

描述法：{x|x具有性质P}

例如：

A={a0,a1,a2,a3,...}

B={}

C={c | c≥-2}

D={d0,d1,d2,d3,d4}

E={e|e是地球上现在活着的狗}

F={猪,电脑,云朵,铅笔}

集合按元素可以分为三类：空集，有限集，无限极。A集合和C集合有无限个元素，有无限个元素组成的集合称为无限集。D集合由有限个元素组成，由有限个元素组成的集合称为有限集。B集合没有元素，由0个元素组成的集合称为空集，记做。

 

0x01集合的性质

确定性：集合的元素是确定的，不能似狼像狗

互斥性：集合中的元素互不相同

无序性：集合中的元素没有顺序区别

 

0x02集合与元素的关系

A,B,C,D在0x00的例子中

d0在D中，记做d0D，读作d0属于D集合。d0不在A中，记做d0A，读作d0不属于A。

 

0x03集合与集合的关系

设两个集合A，B。对于所有的eA，且eB,那么A是B的子集，记做AB（读作A包含于B）,或BA（读作B包含A）。

如果AB且BA，即A中元素和B中元素完全相同，那么A和B相等，记做A=B。

如果AB且AB，那么A是B的真子集，记做A⊊B（读作A真包含于B），或B⊋A（B真包含A）。

空集是所有集合的子集。

例如：

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},A中所有元素都在B中，所以A是B的子集。又因为A和B不相等，所以A是B的真子集

A={1,3,5},B={5,1,3},A中所有元素都在B中，所以A是B的子集。因为A和B中元素相同,所以A和B相等

 

0x04常用的集合

自然数集：=N={0,1,2,3,...,n,...}

正整数集：===={1,2,3,...,n,...}

整数集：=Z={...,-n,...-2,-1,0,1,2,...,n,...}

有理数集：

实数集：=R={r|r是实数}  //水平太菜，不知道怎么用Q表达R,只好用汉字描述了

复数集：=C={a+bi|a,b}

其中R，Q可以加“+”下标或上标表示正实数，正有理数。还可以加“-”下标表示负实数，负有理数。

 

0x05集合的运算

设A，B是两个集合，由所有元素属于A或者属于B组成的集合，称为A与B的并集，简称并，记做AB，读作A并B。即AB={x | xA 或 xB}

例如：

{1,2,3}{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}

{1,2,3}{2,3,4}={1,2,3,4}

设A，B是两个集合，由所有元素属于A并且属于B组成的集合，称为A与B的交集，简称交，记做AB，读作A交B。即AB={x | xA 且 xB}

例如：

{1,2,3}{4,5,6}={}

{1,2,3}{2,3,4}={2,3}

设A，B是两个集合，由所有元素属于A并且不属于B组成的集合，称为A与B的差集，简称差，记做A\B或A-B，读作A差B。即A\B=A-B={x | xA 且 xB}

例如：

{1,2,3}-{4,5,6}={1,2,3}

{1,2,3}-{2,3,4}={1}

当研究范围是一个大集合P，其余集合都是P的子集，某个集合A是P的子集，此时称P是全集或者基本集。称P-A是A的补集或余集，记做

例如：

全集P={1,2,3,4,5,6,7}

A={3,4,7},那么A的补集是=P-A={1,2,5,6}

A={1,2,3},那么A的补集是=P-A={4,5,6,7}

 

0x06集合运算规律

交换律：AB=BA  AB=BA

结合律：ABC=A(BC)   ABC=A(BC)

分配律：(AB)C=(AC)(BC)    (AB)C=(AC)(AC)

对偶律：