1406: [AHOI2007]密码箱-优快云博客

本文介绍了一种在模意义下寻找特定形式二次方程解的方法，并通过因数分解来枚举所有可能的解，同时给出了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意： $给定n，求[1,n)内所有满足x^2≡1(mod n)的x$

题解：
$x^2≡1(mod n)->$
$x^2-1≡0(mod n)->$
$(x+1)(x-1)=kn ->$
$n|(x+1)(x-1)$
$不妨设n=pq,则$
$(p | x + 1 且 q | x - 1) 或 (p| x - 1 且q | x + 1)$

$在O(\sqrt{n})内枚举n的每一对约数，分别枚举x，使得(x+1),(x-1)分别为较大约数倍数，此时验证是否满足另一个条件即可$

最后去一下重
同时证明了只有n=1时无解，n>1时至少有解1

复杂度玄学，据TA爷Blog上说是 $T(d(n)*\sqrt n)≈T(n/10)$

我的收获：因数拆分强啊……若n=p*q，且p、q等价，则小的那个是 $\sqrt{n}$ 的

#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <cstdlib>  
#include <cmath>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#include <set>    
using namespace std;  

int n;

set<int> p;  
set<int>::iterator it;

void work()
{
    if(n==1){puts("None");return ;}
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
    if(!(n%i)){
        int a=i,b=n/a;
        for(int x=1;x<=n;x+=b) if((x+1)%a==0) p.insert(x);//(x-1)%b==0
        for(int x=b-1;x<=n;x+=b) if((x-1)%a==0) p.insert(x);//(x+1)%b==0 
    }
    for(it=p.begin();it!=p.end();it++) printf("%d\n",*it);  
}

void init(){
    cin>>n;
}

int main()  
{  
    init();
    work();
    return 0;  
}