1951: [Sdoi2010]古代猪文

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$题目大意：求G^M mod~P，M=\sum\limits_{i|N}^{~} C(N,i)$

题解：数论大模板
$首先，P为质数，\phi(P)=P-1$
$首先利用指数循环节进行降幂，指数M就变成了\sum\limits_{i|N}^{~} C(N,i)~mod~(P-1)+(P-1)$
$O(\sqrt{N})内枚举N的每对因子，现在就变成求组合数了$
$N太大，需要lucas定理，但是模数(P-1)不是质数$
$对P-1分解质因数，发现每个质因子只出现1次$
$上拓展lucas的简单版本，直接crt合并就可以了$

网上有很多题解需要特判G=P的情况，因为这时G、P不互质，欧拉定理GG
但是我不特判也能过……我不太懂指数循环节的成立条件……
可能是他们用了假的指数循环节

我的收获：大模板

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll Mo=999911659;
ll n,g;
ll m[]={2,3,4679,35617};
ll fac[4][36666],a[4],d[11111];

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}

ll fpow(ll a,ll b,ll P){
    ll c=1;a%=P;
    for(;b;b>>=1,a=(a*a)%P)
    if(b&1) c=(c*a)%P;
    return c;
}

ll inv(ll a,ll P) {
    ll x,y,d;
    exgcd(a,P,d,x,y);
    if(x<0) x+=P;
    return x;
}

ll C(int i,ll x,ll y,ll P)
{
    if(x<y) return 0;
    if(x<P&&y<P) return (fac[i][x]*inv(fac[i][y],P)%P)*inv(fac[i][x-y],P)%P;
    return C(i,x/P,y/P,P)*C(i,x%P,y%P,P)%P;
}

ll crt(int n,ll *a,ll *m)
{
    ll M=1,ret=0,x,y,d;
    for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll w=M/m[i];
        exgcd(w,m[i],d,x,y);
        ret=(ret+(ll)x*w*a[i])%M;
    }
    return (ret+M)%M;
}

void pre()
{
    ll tot=0;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0){
        if(i*i==n) d[tot++]=i;
        else d[tot++]=i,d[tot++]=n/i;
    }
    for(ll i=0;i<4;i++){
        fac[i][0]=1;
        for(ll j=1;j<=m[i];j++)
            fac[i][j]=fac[i][j-1]*j%m[i];
    }
    for(ll i=0;i<tot;i++)
        for(ll j=0;j<4;j++)
            a[j]+=C(j,n,d[i],m[j]),a[j]%=m[j];
}

void work(){
    pre();
    ll ans=crt(4,a,m);
    ans+=Mo-1;
    cout<<fpow(g,ans,Mo)<<endl;
}

void init(){
    cin>>n>>g;
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}