C++实现最近公共祖先算法

C++实现最近公共祖先算法

前言

在树的相关算法当中，最近公共祖先（Lowest Common Ancestor，简称LCA）算法是一个重要的问题。其中，该算法被广泛应用于树的相关问题之中，例如计算任意两个节点间的距离、计算一些节点的子树和等。本文将会介绍如何在C++语言中实现最近公共祖先算法，并且提供相应的源代码。

算法思路

在树的相关算法当中，最近公共祖先算法使用的是树结构中节点之间的关系。其中，最近公共祖先指的是一个树上节点x和节点y的最近公共祖先节点，即深度最大的、同时是x和y的祖先。同时，我们可以使用“倍增法”来求得最近公共祖先。

具体而言，在处理树结构时，我们可以使用预处理技术，将每个节点的深度、父亲节点以及若干个与之相关的祖先节点信息都进行存储。这样，在查询任意两个节点间的最近公共祖先时，我们只需要将这两个节点分别向上移动，直到它们的深度相等，并且同时处于同一个祖先节点处为止。

在实现过程中，我们可以使用二分查找和倍增法来找到节点的祖先。具体而言，我们可以使用一个数组表示每个节点的深度信息，以及一个二维数组表示每个节点的祖先节点信息。其中，第i个节点的第j级祖先节点就是数组f[i][j]。

那么，如何将预处理操作和查询操作进行联合起来呢？在这里，我们可以使用倍增法的思想。具体而言，在进行节点查询时，我们可以首先确定两个节点的深度差diff，然后使用二进制分解diff的方式，将查询过程转化为向上跳若干步。在跳跃时，我们可以使用O(logN)的时间复杂度来找到节点的祖先。因此，总的时间复杂度便是O(NlogN)。

源代码实现

下面是LCA算法的源代码实现过程。其中，代码中包含了预处理以及查询两个节点最近公共祖先的函数