数学专题（三）、欧几里得与扩展欧几里得

五一之前再更一发，话说要为今年的邀请赛做准备了，但是我还什么都不会啊QAQ

今天主要更Euclid这个人发明的算法。欧几里得算法（Euclidean Algorithm），又称辗转相除法，是用来求解两个数的最大公约数的一种算法。其主要的思想是，设有正整数a，b，不妨令a＞b，且a mod b≠0. gcd( a , b )=gcd( b , a mod b )，证明如下：

由于a mod b≠0，设a=k*b+r，即a mod b=r.设gcd( a , b )=c，则c|a且c|b.

令a=m*c，b=n*c且mn互质，r=a-k*b=m*c-n*c*k=(m-n*k)c,也即c|r. 由于n与m-n*k互质，（证：若n与m-n*k不互质，设gcd(n,m-n*k)=d，且d＞1.令n=xd，m-n*k=yd，且xy互质，则y+xk与x互质。gcd(a,b)=gcd(xcd,(y+xk)cd)=cd>c，与假设矛盾）所以gcd( b , r )=c=gcd( a , b ).证毕。代码的话很好写，一行递归就搞定了，在这儿就不放上来了。

然后要说的是扩展欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）。exgcd的主要思想为：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。下证：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax ₁+ by ₁= gcd(a,b);

bx ₂+ (a mod b)y ₂= gcd(b,a mod b);

根据朴素的 欧几里得原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax ₁+ by ₁= bx ₂+ (a mod b)y ₂;

即:ax ₁+ by ₁= bx ₂+ (a - [a / b] * b)y ₂=ay ₂+ bx ₂- [a / b] * by ₂;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax ₁+ by1 == ay ₂+ b(x ₂- [a / b] *y ₂);

根据恒等定理得：x ₁=y ₂; y ₁=x ₂- [a / b] *y ₂;

这样我们就得到了求解 x ₁,y ₁ 的方法：x ₁，y ₁ 的值基于 x ₂，y ₂.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long exgcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}

int main(){
    long long a,b,c,d;
    while(cin>>a>>b>>c>>d){
        cout<<exgcd(a,b,c,d)<<endl;
    }

    return 0;
}

辣么exgcd有什么用呢？至少有以下3个作用：

1、求解不定方程；

2、求解模线性方程（线性同余方程）；

3、求解模的逆元。

关于求解不定方程，可以参考这一篇博客http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

关于求解同余方程和乘法逆元，实际上都是把他们转化成ax+ ny= b的方程形式求解。

同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

设ans=x*(b/d),s=n/d;

方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

相关证明：

证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
     a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
             = b (mod n)

证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                         = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                         = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                         = b

证毕。