算法打卡之快速幂_快速幂例题-优快云博客

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这篇博客介绍了快速幂算法的原理和实现，通过两个实例展示了如何使用该算法计算大整数的幂以及求模逆元。在第一个例子中，算法用于高效计算给定底数和指数的模幂；第二个例子则扩展到求解乘法逆元，特别是在质数模意义下。代码简洁高效，适用于处理大规模数据。

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例题1：快速幂

给定 n 组 ai,bi,pi，对于每组数据，求出在这里插入图片描述
的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示在这里插入图片描述
的值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n≤100000,
1≤ai,bi,pi≤2× $10^9$

输入样例：

2
3 2 5
4 3 9

输出样例：

4
1

答案：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {

    public static int qmi(long a, long b, long p) {
        long res = 1;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) > 0) res = Math.floorMod(res * a, p);
            b = b >> 1;
            a = (Math.floorMod(a * a, p));
        }
        return (int) res;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader bufferedReader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] str = bufferedReader.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(str[0]);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            str = bufferedReader.readLine().split(" ");
            long a = Long.parseLong(str[0]);
            long b = Long.parseLong(str[1]);
            long p = Long.parseLong(str[2]);
            System.out.println(qmi(a, b, p));
        }
    }
}

快速幂的思路例子如图：

(过程很复杂，代码很简单)
在这里插入图片描述

例题2：快速幂求逆元

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

在这里插入图片描述

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤ $10^5$ ,
1≤ai,pi≤2∗ $10^9$

输入样例：

输出样例：

1
2
impossible

答案：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {

    public static int qmi(long a, long b, long p) {
        long res = 1;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) > 0) res = Math.floorMod(res * a, p);
            b = b >> 1;
            a = (Math.floorMod(a * a, p));
        }
        return (int) res;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader bufferedReader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] str = bufferedReader.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(str[0]);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            str = bufferedReader.readLine().split(" ");
            long a = Long.parseLong(str[0]);
            long p = Long.parseLong(str[1]);
            int t = qmi(a, p - 2, p);
            if (a % p != 0)
                System.out.println(t);
            else
                System.out.println("impossible");
        }
    }
}