分治算法详解-优快云博客

分治（divide and conquer）

分治是一种常见的解决复杂问题的算法。它将一个庞大的难以解决的问题分解为若干个小的相同子问题，

直到方便求解为止。解决之后再将答案合并起来，得到最终的解。

在计算机科学中有许多应用，如快速排序、归并排序，快速傅里叶变换（FFT），解决矩阵乘法的Strassen算法等。

在CLRS上，有一道使用分治算法的经典计算几何例题，即最近点对（HDU1007）。该题对于分治的理解十分有帮助。

本次的例题选取CodeForces 526F Pedding Monster，题意如下：

有一个n*n（1≤n≤3*1e5）的矩形，每行每列有且仅有一个特殊点，问存在多少k*k的子矩形，

使得子矩形内有k个特殊点。

分析：本题乍一看是可以使用暴搜的，事实上在OI上使用暴搜是可以拿到70分的。这里要计算二维前缀和，枚举答案即可。

这种做法的时间复杂度在O(n^3)，在此不做赘述。

第二种方法是将本题转换为序列求解。序列A，每个特殊点的横坐标为下标，纵坐标为权值，即A[x]=y。

而题目相当于询问存在多少(l,r)，使得max(A[l],A[l+1]...A[r])-min((A[l],A[l+1]...A[r])==r-l.

此时需要维护最大最小两个单调队列，每个元素出队的同时维护其本来“管辖”的区域。

这时候需要建咨磁区间修改、区间查询最小值及其出现次数的线段树，复杂度在O(n^2)。

第三种就是今天主要介绍的方法——分治。

怎么考虑分治呢？我们可以预见到一种情况，即最大值和最小值只有两种可能。

一、最大最小值在同侧

只要枚举l，可以计算出r，然后判断解的合法性即可。

二、最大最小值在异侧

这种情况稍复杂。假设最小值在左侧，最大值在右侧。

如果一个区间合法，由于最大值单调不增，最小值单调不减，那么一定有以下性质：

max(a[mid+1]…a[r])-min(a[l]…a[mid])=r-l.我们可以移项得

max(a[mid+1]…a[r])-r=min(a[l]…a[mid])-l.

这时候用两个指针分别指一指指出合法位置的范围，用一个类似于桶排序的记录即可。

此算法的时间复杂度为O(nlogn)。

关于分治，实际上还有很多说的，比如说三分法，点分治（边分治？）等骚操作，日后再叙。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 300001
#define ll long long
#define P 600000
using namespace std;
int bz[P*2+1];
int a[N];
int maxl[N],maxr[N],minl[N],minr[N];
ll fz(int l,int r)
{
    if(l==r) return 1;
    int mid=(l+r)/2;
    maxl[mid]=minl[mid]=a[mid];
    fd(i,mid-1,l)
    {
        maxl[i]=max(maxl[i+1],a[i]);
        minl[i]=min(minl[i+1],a[i]);
    }
    maxr[mid+1]=minr[mid+1]=a[mid+1];
    ll t=0;
    fo(i,mid+2,r)
    {
        maxr[i]=max(maxr[i-1],a[i]);
        minr[i]=min(minr[i-1],a[i]);
    }
    //minmax|
    fd(i,mid,l)
    {
        int p=i+maxl[i]-minl[i];
        if(p<=mid || p>r) continue;
        if(minr[p]>minl[i] && maxr[p]<maxl[i]) t++;
    }
    //|minmax
    fo(i,mid+1,r)
    {
        int p=i-maxr[i]+minr[i];
        if(p>mid || p<l) continue;
        if(minl[p]>minr[i] && maxl[p]<maxr[i]) t++;
    }
    //min|max
    int z1=mid+1,z2=mid;
    fd(i,mid,l)
    {
        while(minr[z2+1]>minl[i] && z2<r)
        {
            z2++;
            bz[maxr[z2]-z2+P]++;
        }
        while(maxl[i]>maxr[z1])
        {
            bz[maxr[z1]-z1+P]--;
            z1++;
            if(z1>r) break;
        }
        if(z1>r) break;
        if(z1<=z2) t+=bz[minl[i]-i+P];
    }
    fd(i,mid,l) bz[minl[i]-i+P]=0;
    fo(i,mid+1,r) bz[maxr[i]-i+P]=0;
    //max|min
    z1=mid,z2=mid+1;
    fo(i,mid+1,r)
    {
        while(minl[z2-1]>minr[i] && z2>l)
        {
            z2--;
            bz[maxl[z2]+z2+P]++;
        }
        while(maxr[i]>maxl[z1])
        {
            bz[maxl[z1]+z1+P]--;
            z1--;
            if(z1<l) break;
        }
        if(z1<l) break;
        if(z2<=z1) t+=bz[minr[i]+i+P];
    }
    fo(i,mid+1,r) bz[minr[i]+i+P]=0;
    fd(i,mid,l) bz[maxl[i]+i+P]=0;
    return t+fz(l,mid)+fz(mid+1,r);
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    fo(i,1,n)
    {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        a[x]=y;
    }
    cout<<fz(1,n);
}

祝每日AC愉快~