图论（1）、最短路径

图论是离散数学中比较重要的一个分支；而图，恰好又是计算机中最重要的数据结构。所以今天开一个图论专题。

说道图，最先想到也是最常用的，自然就是怎样求最短路径。我们常说的最短路径指的是单源最短路径。常见的解决单源最短路径问题的算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这两种算法都是基于动态规划思想实现的，所以这两个算法都有一个核心操作，就是松弛（Relax）。但是它们适用的范围不太一样。而对于多源最短路径，则有Floyd算法实现。

迪杰斯特拉算法

朴素Dijkstra算法遍历某一结点到其他结点的最短路径，其特点类似于BFS，层层向外扩展，直到找到终点为止。这种方法实现起来十分好理解，但是由于它遍历了大量的结点，导致它的时间复杂度达到了O(V^2+E)。若源点可达，复杂度变成O(V*logV+E*logV)。在稀疏图上，由于E=V*V/logV，时间复杂度可达O(V^2)。我们可以考虑用heap去优化Dijkstra，这样能使得复杂度进一步降低，获得O(VlogV+E)。

贝尔曼-福特算法

Dijkstra算法有个局限性，就是它只能求解单源、正权的最短路径。一旦图上含负权，Dijkstra就无能为力了。原因很好理解，Dijkstra在贪心地寻找当前距源点最小距离的点时，有可能先走过次优点，再走过该负权，会使得最短距离更小。反例很好举，大家随便举一下就可以了。那么含有负权的最短路径怎么解决呢？采用Bellman-Ford算法就可以了。Bellman算法的核心和Dijkstra一样，就是松弛操作。但是Bellman反复用已有的边去更新最短距离，对于当前结点v，一旦发现dis[v]>dis[u]+graph[u][v],就要把dis[v]维护为dis[u]+graph[u][v]。并且Bellman还有一个功能，就是判负环，如果没有负环的话，该算法会