网络流入门之最大流问题（1）

changxv大佬说网络流非常万能，几乎可以解决所有与图有关的题目（网络流的强悍！），这里写出博客只是谈谈我自己的心得体会，帮助那些看到网络流望而却步的同学们以及我自己有个大致了解。

概念：

在一张带权图G中，我们已知源点s与汇点t，假设我们要将水从s输送到t，其间必然会通过一些边以及其它中转点（边就像是水管，边权就是这个水管的最大容量即最大运送的水量），最大流问题就是要我们求在每个水管最大容量内最多能将多少水从s送到t。

 

变量定义：

对于每一条边，我们定义它的上限为容量cap（u，v），实际运送水量称为流量flow（u，v）

struct edge{

    int from,to,cap,flow;//一般只用一个cap即可（看到后面就知道啦）

}

注意：从u->v的水管送2单位水，再从v->u的水管送4单位水没有意义，因为其等价于从v->u送（4-2=2）单位水。因此，对于每一条从u->v的边，我们建立一条正向边（正向弧）和一条反向边（反向弧），规定其中flow（u，v）>=0，flow（v，u）<=0。

最大流性质：

除了源点s与汇点t，其余结点都为中转点，所以有：

1、s的出水流量等于t的入水流量

2、flow（u，v）=-flow（v，u）

3、任意中转结点的总入水流量等于-总出水流量，即：正向弧flow+反向弧flow=0

 

增广路算法：

即是求解最大流的算法，算法思想很简单，即从零开始不断增加流量，并且每次都保持上述3条最大流性质。

如：对于一条边（u，v），若我们要向这条边送d单位的水量，则flow（u，v）+=d，flow（v，u）-=d。

我们每一次增广后的图称为残量网络，对于flow=cap的边，我们称它已满流，则在下一次增广中这条边是不能流动的（也可以说删除了这条边）。

显然，每次增广之后流量始终满足3条性质，所以只要残量网络中不存在增广路（s和t不连通），则当前流就是最大流。

由此可以看出我们每次都是找一条任意从s到t的可行路径，我们很容易想出dfs或bfs暴力算法，事实上我学的也就是dfs。

举个例子：假设有n个教室m个老师，第i个老师能在一些教室上课，现在我们让第一个老师选择他的教室，当第二个老师来的时候，他选择他的教室……直到一个老师a选定的一个教室已经被老师b占用，老师a会选择与老师b商量，那么老师b会寻找他的第二个教室，如果此时教室为空，则成功；如果此时