hdu 6134 Battlestation Operational (莫比乌斯反演+线性筛法+差分)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134
题目大意:给你一个n,求 f(n)=ni=1ij=1ijgcd(i,j)=1

解题思路:根据已知公式,可以令 h(i)=ij=1ijgcd(i,j)=1 .
g(i)=ij=1ij
f(n)=ni=1h(i)
设gcd(i,j) = d,明显可以知道d能被i整除,当然也可以找到一个k,使得k*d = j,则我们可以得到gcd(i,kd) = d; 我们可以构造 i/dk=1ikdgcd(i,kd)=d 化简可得 i/dk=1i/dkgcd(i/d,k)=1 即原式等于h(i/d),当d取满i所有的约数则可以得到 g(i)=d|ih(i/d) 根据约数定理可以化简得 g(i)=d|ih(d) 根据莫比乌斯反演可以得到 h(i)=d|iμ(d)g(i/d)
现在我们的任务就是如何求h(i)了,那就要求 μ(d) 和 g(i/d);
μ(d) 可以根据线性筛法来求。
这里写图片描述
令t = i/d;则当 j = t时g(t) = 1 当 t/2<= j< t 时 g(t) = 2 当 t/3<=j < t/2 时 g(t) = 3 由此可以看出在t这个间隔内g(t)的值不会发生变化。这里可以用差分的思想来求g(t)。
具体代码如下:

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
const int mod = 1e9+7;
const int N = 1e6;
using namespace std;
int mu[N+10],vis[N+10],prime[N+10];
int sum[N+10],g[N];
int n,m;
void get_mu()///线性筛法求mu
{
    int cnt = 0;
    memset(mu,0,sizeof(mu));///先让初始值全部赋值为0
    mu[1] = 1;///第一个元素为1
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[0] = vis[1] = 1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;///如果这个数是个素数的话则mu【i】 = -1;
        }
        for(int j = 0;j < cnt&& i*prime[j]<=N;j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j])///控制这个数由几个不同素数组成
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else{///表示有相同素数组成
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
void work()
{
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(g,0,sizeof(g));
    get_mu();
    for(int i=1;i<=N;i++){///求g(i)
        g[i]++;
        for(int j = i; j <= N; j+=i)
            g[j+1]++;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        g[i] = (g[i-1] + g[i])%mod;
    for(int i = 1; i <= N; i++){///求h(i)
        if(mu[i] == 0)  continue;
        for(int j = i; j <= N; j+=i){
            if(mu[i] > 0)sum[j] = (sum[j] + g[j/i])%mod;
            else   sum[j] = (sum[j] - g[j/i]+mod)%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        sum[i] = (sum[i] + sum[i-1])%mod;
}
int main()
{
    int n;
    work();
//    for(int i=1;i<=10;i++)
//        cout<<mu[i]<<' ';
//    cout<<endl;
//    for(int i=1;i<=10;i++)
//        cout<<g[i]<<' ';
//    cout<<endl;
//    for(int i=1;i<=10;i++)
//        cout<<sum[i]<<' ';
//    cout<<endl;
    while(~scanf("%d",&n)){
        printf("%d\n",sum[n]);
    }
    return 0;
}
标题基于SpringBoot+Vue的社区便民服务平台研究AI更换标题第1章引言介绍社区便民服务平台的研究背景、意义,以及基于SpringBoot+Vue技术的研究现状和创新点。1.1研究背景与意义分析社区便民服务的重要性,以及SpringBoot+Vue技术在平台建设中的优势。1.2国内外研究现状概述国内外在社区便民服务平台方面的发展现状。1.3研究方法与创新点阐述本文采用的研究方法和在SpringBoot+Vue技术应用上的创新之处。第2章相关理论介绍SpringBoot和Vue的相关理论基础,以及它们在社区便民服务平台中的应用。2.1SpringBoot技术概述解释SpringBoot的基本概念、特点及其在便民服务平台中的应用价值。2.2Vue技术概述阐述Vue的核心思想、技术特性及其在前端界面开发中的优势。2.3SpringBoot与Vue的整合应用探讨SpringBoot与Vue如何有效整合,以提升社区便民服务平台的性能。第3章平台需求分析与设计分析社区便民服务平台的需求,并基于SpringBoot+Vue技术进行平台设计。3.1需求分析明确平台需满足的功能需求和性能需求。3.2架构设计设计平台的整体架构,包括前后端分离、模块化设计等思想。3.3数据库设计根据平台需求设计合理的数据库结构,包括数据表、字段等。第4章平台实现与关键技术详细阐述基于SpringBoot+Vue的社区便民服务平台的实现过程及关键技术。4.1后端服务实现使用SpringBoot实现后端服务,包括用户管理、服务管理等核心功能。4.2前端界面实现采用Vue技术实现前端界面,提供友好的用户交互体验。4.3前后端交互技术探讨前后端数据交互的方式,如RESTful API、WebSocket等。第5章平台测试与优化对实现的社区便民服务平台进行全面测试,并针对问题进行优化。5.1测试环境与工具介绍测试
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