Lucas定理模板

输入p时,预处理所有n!的模p的余数,即调用init(p);

LL f[maxn];
void init(LL p)
{
    LL i;
    f[0]=1;
    for(i=1;i<=p;i++){
        f[i]=f[i-1]*i%p;
    }
}
LL powmod(LL a,LL b,LL p) {
    LL res=1;
    while(b!=0){
        if(b&1) res=(res*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return
     res;
}

LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
{
    LL ans=1;
    while(n&&m){
        LL nn=n%p,mm=m%p;
        if(nn<mm) return 0;
        ans=ans*f[nn]*powmod(f[mm]*f[nn-mm]%p,p-2,p)%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}


卢卡斯定理Lucas Theorem)是组合数学中用于高效计算组合数模一个质数的常用方法,尤其是在组合数的参数远大于模数的情况下。洛谷P3807题是卢卡斯定理的标准模板题之一,其核心目标是计算 $ C_{n+m}^{n} \mod p $,其中 $ n, m \leq 10^9 $,而 $ p $ 是一个质数且 $ p \leq 10^5 $。这种情况下,直接计算阶乘再取模会超出时间限制或精度限制,因此需要使用卢卡斯定理来优化计算过程。 ### 卢卡斯定理的基本思想 卢卡斯定理指出,对于非负整数 $ A, B $ 和质数 $ p $,将 $ A $ 和 $ B $ 表示为 $ p $ 进制数后,组合数模 $ p $ 的值等于各位组合数的乘积模 $ p $。即: $$ C_B^A \mod p = \prod_{i=0}^{\min\{n,m\}} C_{b_i}^{a_i} \mod p $$ 其中 $ A = a_n \times p^n + a_{n-1} \times p^{n-1} + \cdots + a_0 $,$ B = b_m \times p^m + b_{m-1} \times p^{m-1} + \cdots + b_0 $。这一性质将大范围的组合数分解为多个小范围组合数的乘积,便于计算[^1]。 ### 实现方法 在实现过程中,需要预先计算阶乘和逆元的模值。具体来说,需要构建两个数组: - `s1[]`:存储阶乘模 $ p $ 的结果,即 $ s1[i] = i! \mod p $。 - `s2[]`:存储逆元的前缀积,即 $ s2[i] = (i!)^{-1} \mod p $。 组合数 $ C_n^m \mod p $ 可以通过以下公式计算: $$ C_n^m \mod p = \frac{s1[n]}{s1[m] \cdot s1[n-m]} \mod p $$ 在模运算中,除法等价于乘以逆元。因此,可以通过预先计算阶乘和逆元的数组来快速完成计算。 #### 递归实现 卢卡斯定理的递归形式为: $$ C_n^m = C_{n/p}^{m/p} \cdot C_{n \mod p}^{m \mod p} \mod p $$ 当 $ n \leq p $ 且 $ m \leq p $ 时,直接调用预处理的组合数计算函数;否则,递归地将问题分解为更小的子问题。 #### 代码实现 以下是基于上述思想的C++代码实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 1e5 + 5; ll n, m, p; ll s1[maxn], s2[maxn]; // s1[]表示阶乘,s2[]表示逆元前缀积 inline ll C(ll n, ll m) { return n < m ? 0 : s1[n] * s2[m] % p * s2[n - m] % p; } ll lucas(ll n, ll m) { return (n <= p && m <= p) ? C(n, m) : lucas(n % p, m % p) * lucas(n / p, m / p) % p; } inline void pre() { s1[0] = s2[0] = s2[1] = 1; // 注意s2[0]=1很重要 for (ll i = 1; i <= p; i++) s1[i] = (s1[i - 1] * i) % p; for (ll i = 2; i <= p; i++) s2[i] = (p - p / i) % p * s2[p % i] % p; for (int i = 2; i <= p; i++) s2[i] = s2[i - 1] * s2[i] % p; } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p); pre(); printf("%lld\n", lucas(n + m, n)); } return 0; } ``` ### 优化与注意事项 - **预处理阶乘和逆元**:在每次测试用例中,都需要重新预处理阶乘和逆元数组,以确保模数 $ p $ 的正确性。 - **边界条件**:当 $ n = 0 $ 或 $ m = 0 $ 时,组合数为 1,需特别处理。 - **递归终止条件**:当 $ n \leq p $ 且 $ m \leq p $ 时,可以直接调用组合数计算函数,避免不必要的递归调用。 ### 总结 卢卡斯定理通过将大范围的组合数问题分解为小范围问题,极大地提高了计算效率。结合预处理阶乘和逆元数组,可以在 $ O(p) $ 的时间内完成预处理,并在 $ O(\log_p n) $ 的时间内完成每次查询。这种方法在处理组合数模质数的问题中具有广泛的应用价值。
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