Radix-4 FFT IFFT inverse FFT 基4 的FFT python 版本

Radix-2 FFT 网上的资源很多，但是Radix-4 FFT的资源很少，我只找到一个C++版本的，而且网上几乎没有 IFFT 的代码。
我实现了一个python版本的Radix-4，包括正变换，和反变换，方便理解和学习。
其中第一个版本的复杂度更低，第二个版本更方便理解。
建议先从第二个版本看起。
最好是先理解Radix-2 FFT再学习Radix-4的版本，Radix-2 FFT是普通的碟式算法FFT，网上很多资料。

参考资料：

• 版本1:radix-4 FFT implementation
  
• 版本2:Radix-4 Complex FFT Functions
• 共轭反变换:Inverse radix4 FFT

首先，定义位翻转函数：

def bit_reverse(X, Y, N):
    j = 0
    N2 = N//4
    for i in range(N-1):
        if(i<j):
            X[i],X[j] = X[j],X[i]
            Y[i],Y[j] = Y[j],Y[i]

        N1 = N2
        while j>= 3 * N1:
            j = j - 3 * N1
            N1 = N1 // 4
        j = j + N1
    return X, Y

第一个版本的 Radix-4 FFT

def FFT_Radix4(X, Y, N, M):
    
    X_ = np.copy(X)
    Y_ = np.copy(Y)
    
    N2 = N
    for k in range(M):
        E = 2 * np.pi / N2
        N1 = N2     
        N2 = N2//4
        A = 0

        for j in range(N2):
            A1 = j * E
            A2 = 2 * A1
            A3 = 3 * A1

            CO1, CO2, CO3 = np.cos(A1), np.cos(A2), np.cos(A3)
            SI1, SI2, SI3 = np.sin(A1), np.sin(A2), np.sin(A3)
  
            for i in range(j,N,N1):

                i0 = i + 0 * N2
                i1 = i + 1 * N2
                i2 = i + 2 * N2
                i3 = i + 3 * N2            

                R1 = X_[i0] + X_[i2]
                R2 = X_[i1] + X_[i3]
                R3 = X_[i0] - X_[i2]
                R4 = X_[i1] - X_[i3]
                S1 = Y_[i0] + Y_[i2]
                S2 = Y_[i1] + Y_[i3]
                S3 = Y_[i0] - Y_[i2]
                S4 = Y_[i1] - Y_[i3]


                X_[i0] = R1 + R2;
                R2 = R1 - R2;
                R1 = R3 - S4;
                R3 = R3 + S4;
                Y_[i0] = S1 + S2;
                S2 = S1 - S2;
                S1 = S3 + R4;
                S3 = S3 - R4;

                X_[i1] = CO1*R3 + SI1*S3<