基于数据驱动的Koopman库普曼算子谱分析附Matlab代码

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🔥 内容介绍

在非线性动力系统的研究领域中，Koopman（库普曼）算子谱分析无疑是一种极具创新性和实用性的工具。它通过将非线性系统转化到线性空间进行分析，为理解复杂系统的动态行为提供了全新的视角。而随着数据科学的飞速发展，基于数据驱动的 Koopman 算子谱分析方法更是突破了传统理论分析的局限，展现出强大的生命力。

Koopman 算子是一种作用在动力系统状态空间上的线性算子，其核心思想是不直接对系统的状态变量进行研究，而是关注状态变量的函数（观测函数）在系统演化下的变换。这种特性使得原本非线性的动力系统在 Koopman 算子的框架下呈现出线性特性，为运用线性代数等成熟的数学工具进行分析奠定了基础。Koopman 算子的谱特性，包括特征值、特征函数等，蕴含了系统的关键动态信息，如周期、衰减率、稳定性等，通过对这些谱特性的分析，能够深入揭示系统的内在规律。

传统的 Koopman 算子谱分析方法往往依赖于对系统动力学方程的精确了解，这在实际应用中常常面临巨大挑战，因为很多复杂系统的动力学方程难以准确建立。而数据驱动的方法则打破了这一限制，它直接从系统的观测数据出发，构建 Koopman 算子的近似模型，并对其谱特性进行分析。

数据驱动的 Koopman 算子谱分析的关键步骤包括数据采集与预处理、观测函数的选择、Koopman 算子近似矩阵的构建以及谱分析等。数据采集需要获取系统在不同时刻的状态数据，数据的质量和数量直接影响分析结果的准确性，因此需要进行去噪、归一化等预处理操作。观测函数的选择至关重要，合适的观测函数能够更好地捕捉系统的动态特征，常用的有多项式函数、三角函数、径向基函数等，也可以通过机器学习方法自适应地选择。

在构建 Koopman 算子近似矩阵时，典型的方法如动态模态分解（DMD）及其扩展方法。DMD 通过对观测数据矩阵进行奇异值分解和特征值分解，得到 Koopman 算子的近似特征值和特征向量，从而实现对系统动态模式的提取。随着研究的深入，各种改进的 DMD 方法不断涌现，如优化 DMD、多核 DMD 等，这些方法在提高分析精度和处理复杂数据方面表现出显著优势。

基于数据驱动的 Koopman 算子谱分析在众多领域都有着广泛的应用。在流体力学中，它可以用于分析流场的动态结构，识别涡旋等流动模式的演化特征；在控制工程中，能够为非线性系统的控制设计提供依据，通过对 Koopman 算子谱特性的分析设计出更有效的控制器；在生物医学领域，可用于研究生物系统的动态行为，如细胞信号传导过程等。

然而，这种方法也面临着一些挑战。例如，如何选择合适的观测函数以确保对系统动态的准确描述，如何处理高维、大规模的数据以提高分析效率，以及如何提高方法对噪声的鲁棒性等。未来的研究方向将集中在发展更智能的观测函数选择方法、开发高效的高维数据处理算法、增强方法的鲁棒性和泛化能力等方面。

基于数据驱动的 Koopman 算子谱分析为非线性动力系统的研究提供了一种强大的工具，它不仅拓展了我们对复杂系统的认知边界，也为实际工程问题的解决提供了新的思路和方法。随着相关技术的不断发展和完善，其应用前景必将更加广阔。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 李雨桐,付云飞,蔺习升,等.基于"Koopman-LTI库普曼线性恒定"数据驱动算法的亚临界方柱尾流激励源量化分析[C]//第十三届全国流体力学学术会议摘要集（上）.2024.

[2] 孙祯,周素霞.基于一维多尺度神经网络和库普曼池化的滚动轴承故障诊断方法[J].科学技术与工程, 2024, 24(24):10297-10304.DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2306962.

[3] 孙祯,周素霞.基于一维多尺度神经网络和库普曼池化的 滚动轴承故障诊断方法[J].Science Technology & Engineering, 2024, 24(24).DOI:10.12404/j.issn.1671-1815.2306962.

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