【控制】LQR和强化学习的组合附matlab代码

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🔥 内容介绍

控制理论，作为工程学和应用数学的重要分支，致力于设计控制系统，以使其能够按照期望的轨迹或状态运行。线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator, LQR）作为一种经典的优化控制方法，凭借其理论的完备性和易于实施的特性，在工业控制领域得到了广泛的应用。然而，传统的LQR方法在面对复杂、非线性和未知的系统环境时往往显得力不从心。与此同时，近年来飞速发展的强化学习（Reinforcement Learning, RL）为解决上述挑战提供了新的思路。强化学习通过智能体与环境的交互，学习最优控制策略，而无需精确的系统模型。将LQR与强化学习结合，既能利用LQR的稳定性保证和良好的初始性能，又能借助强化学习的学习能力来适应复杂的环境变化，从而实现更鲁棒、更高效的控制。本文旨在深入探讨LQR与强化学习结合的动机、方法、优势以及未来的发展方向。

一、LQR的局限性与强化学习的优势

LQR是一种基于模型预测的控制方法，其核心思想是构建一个线性系统模型，并定义一个二次型代价函数来衡量系统的性能。通过求解黎卡提方程，可以得到最优的控制增益矩阵，从而实现对系统的最佳控制。LQR的优势在于：

• 理论完备性:

   LQR的理论基础扎实，可以通过严格的数学推导保证闭环系统的稳定性和最优性。

• 易于实施:

   LQR的设计相对简单，只需要已知系统的线性模型和代价函数，就可以通过求解黎卡提方程得到控制律。

• 计算效率高:

   对于低维系统，LQR的计算复杂度较低，可以实现实时控制。

然而，LQR也存在着明显的局限性：

• 依赖于精确模型:

   LQR需要精确的系统模型，而现实世界的系统往往具有高度的非线性和不确定性，难以获得精确的模型。模型的不准确会导致控制性能下降甚至系统失稳。

• 难以处理复杂环境:

   LQR难以处理复杂的环境变化，例如外部干扰、参数扰动等。环境的变化会导致系统模型发生改变，从而影响控制效果。

• 需要手工设计代价函数:

   LQR需要手工设计二次型代价函数，而代价函数的设计往往需要大量的经验和试错。不合理的代价函数会导致控制性能不佳。

强化学习则提供了一种无需精确模型、能够适应复杂环境的控制方法。强化学习通过智能体与环境的交互，不断试错，学习最优的控制策略。其核心思想是最大化智能体从环境中获得的累积奖励。强化学习的优势在于：

• 无需精确模型:

   强化学习不需要精确的系统模型，可以通过与环境的交互学习最优控制策略。

• 能够适应复杂环境:

   强化学习可以通过不断学习来适应环境的变化，从而实现鲁棒控制。

• 可以学习复杂的控制策略:

   强化学习可以学习非线性、时变的控制策略，从而解决传统控制方法难以处理的复杂控制问题。

二、LQR与强化学习结合的方法

将LQR与强化学习结合，可以充分发挥两者的优势，克服各自的局限性。目前，常见的结合方法主要有以下几种：

• LQR作为探索策略:

   在强化学习的探索阶段，可以使用LQR作为探索策略，帮助智能体快速探索环境，并找到较好的初始策略。例如，可以使用LQR生成一系列控制信号，然后通过强化学习算法学习如何选择这些控制信号，从而提高学习效率。

• LQR作为策略初始化:

   可以使用LQR作为强化学习的策略初始化，为智能体提供一个良好的初始策略，从而加速学习过程。例如，可以先使用LQR设计一个稳定的控制律，然后使用强化学习算法对该控制律进行微调，从而提高控制性能。

• LQR作为奖励函数 shaping:

   可以使用LQR的代价函数作为强化学习的奖励函数 shaping，引导智能体的学习方向。例如，可以将LQR的代价函数作为负奖励，鼓励智能体学习使代价函数最小化的控制策略。

• 模型学习与LQR相结合:

   可以使用强化学习算法学习系统的模型，然后使用LQR基于该模型设计控制律。这种方法结合了强化学习的模型学习能力和LQR的优化控制能力，可以有效地解决模型不确定性问题。例如，可以使用高斯过程回归等方法学习系统的动态模型，然后使用LQR基于该模型设计最优控制律。

• 层次化控制架构:

   可以构建层次化的控制架构，上层使用强化学习进行高层决策，下层使用LQR进行底层控制。例如，上层强化学习负责决定机器人的运动目标点，下层LQR负责控制机器人跟踪该目标点。

三、LQR与强化学习结合的优势

LQR与强化学习结合具有以下显著优势：

• 提高学习效率:

   LQR可以提供良好的初始策略和探索方向，从而加速强化学习的收敛速度。

• 提高控制鲁棒性:

   强化学习可以学习适应环境变化的能力，LQR可以提供稳定性保证，两者结合可以提高控制系统的鲁棒性。

• 降低对模型精度的依赖:

   强化学习可以在不依赖精确模型的情况下学习最优控制策略，从而降低对模型精度的依赖。

• 可扩展性强:

   LQR与强化学习的结合可以灵活地应用于不同的控制问题，具有良好的可扩展性。

• 提高控制性能:

   通过强化学习对LQR进行优化，可以显著提高控制系统的性能，例如提高跟踪精度、降低能量消耗等。

四、LQR与强化学习结合的挑战与未来展望

尽管LQR与强化学习的结合具有诸多优势，但也面临着一些挑战：

• 参数调整的复杂性:

   将LQR与强化学习结合需要调整大量的参数，例如LQR的代价函数权重、强化学习的学习率等。参数调整的复杂性会影响控制系统的性能和稳定性。

• 探索-利用的权衡:

   在强化学习的探索阶段，需要权衡探索和利用之间的关系。过度的探索会导致系统性能下降，而过度的利用会导致陷入局部最优。

• 高维状态空间的挑战:

   对于高维状态空间，强化学习的学习效率会显著下降。如何有效地处理高维状态空间是LQR与强化学习结合的一个重要挑战。

• 理论分析的难度:

   LQR与强化学习结合的理论分析比较困难，难以保证系统的稳定性。需要进一步研究LQR与强化学习结合的理论基础，为实际应用提供指导。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1]陆军.基于PID和LQR控制的两轮自平衡小车研究[D].西南交通大学[2025-02-25].DOI:10.7666/d.y2107938.

📣 部分代码

A, B, C, D] = ssdata(Gd);

F=[-0.9]; L=[0 0 0];

R = 0.3;  Q = 1;

gamma = 0.8;

A1=[A    [0;0];

    [0 0] F];

B1=[B;0];

% C1 = [C 0; zeros(1,length(C)+1); zeros(1,length(C)+1); ]-eye(length(C)+1);

% Q1=C1'*Q*C1;

Q1=[C'*Q*C -C'*Q;-Q*C Q];

G=[Q1 zeros(length(Q1),1);

    zeros(1,length(Q1)) R];

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